Referanseside · Kapittel 6

Begreper & formler

Alle nøkkelbegrepene og formlene fra Multivariate fordelinger og transformasjoner, samlet på én side. Bruk denne som oppslag når du leser, øver flashcards eller tar quiz.

Øv med flashcards19 kort fra dette kapittelet

Begreper

Sentrale begreper fra kapittelet med korte definisjoner.

01Felles fordeling

Sannsynlighet for kombinasjoner av verdier for flere variabler.

Logg inn for forklaring

02Marginal fordeling

Fordelingen til en variabel når de andre integreres bort.

Logg inn for forklaring

03Betinget fordeling

Fordelingen til en variabel gitt en bestemt verdi av en annen.

Logg inn for forklaring

04Kovarians

Måler samvariasjon mellom to variabler.

Logg inn for forklaring

05Uavhengighet

Felles fordeling faktoriserer som produkt av marginalene.

Logg inn for forklaring

06Funksjon av variabel

Ny variabel definert som $Y = g (X)$ .

Logg inn for forklaring

07Jacobian

Determinanten som justerer tetthet ved transformasjon av flere variabler.

Logg inn for forklaring

08Konvolusjon

Metode for å finne fordeling av summen av uavhengige variabler.

Logg inn for forklaring

09Momentgenererende funksjon

Kan brukes til å finne fordeling av summer.

Logg inn for forklaring

10Lineær transformasjon

Skalering og forskyvning av variabler.

Logg inn for forklaring

Formler

Hver formel: hva den heter, hvordan den ser ut, og hva symbolene betyr.

f_{X} (x) = \int_{- \infty}^{\infty} f_{X, Y} (x, y) d y

marginal-int

Marginal fra felles tetthet

Logg inn for forklaring

Integrerer bort y for å finne fordelingen til X alene.

f_{X,Y}felles tetthet

f_Xmarginal tetthet for X

f_{X ∣ Y} (x ∣ y) = \frac{f _{X, Y} ( x , y )}{f _{Y} ( y )}

betinget-formel

Betinget tetthet

Logg inn for forklaring

Definerer fordeling av X gitt en observert verdi y av Y.

f_{X \mid Y}betinget tetthet for X gitt Y=y

f_Y(y)marginal tetthet for Y

Cov (X, Y) = E [(X - μ_{X}) (Y - μ_{Y})] = E [X Y] - E [X] E [Y]

cov-def

Kovarians

Logg inn for forklaring

Måler hvorvidt variablene avviker sammen fra sine forventningsverdier.

\mu_X, \mu_Yforventningene

E[XY]forventning av produktet

f_{Y} (y) = f_{X} (g^{- 1} (y)) \frac{d}{d y} g^{- 1} (y)

uv-trans

Transformasjon av kontinuerlig variabel

Logg inn for forklaring

Tettheten endres med den inverse transformasjonens derivert.

gden deriverbare transformasjonen Y = g(X)

g^{-1}invers transformasjon

f_{U, V} (u, v) = f_{X, Y} (x (u, v), y (u, v)) ∣ det J ∣

jac-2d

Jacobian for to variabler

Logg inn for forklaring

Determinanten til Jacobian-matrisen skalerer tettheten ved koordinatbytte.

JJacobian-matrisen av (x, y) m.h.t. (u, v)

|\det J|absoluttverdi av determinanten

f_{X + Y} (z) = \int_{- \infty}^{\infty} f_{X} (x) f_{Y} (z - x) d x

konv-formel

Konvolusjon

Logg inn for forklaring

Gir tettheten til summen av to uavhengige kontinuerlige variabler.

f_X, f_Ytetthetene til X og Y (uavhengige)

zverdi for summen

ρ_{X, Y} = \frac{Cov ( X , Y )}{σ _{X} σ _{Y}}

korr

Korrelasjon

Logg inn for forklaring

Skalert kovarians som alltid ligger mellom -1 og 1. Robust mot enhetsvalg.

\sigma_X, \sigma_Ystandardavvikene

\rhokorrelasjonskoeffisienten

Var (X + Y) = Var (X) + Var (Y) + 2 Cov (X, Y)

var-sum

Varians av sum

Logg inn for forklaring

Varians summerer ikke fritt — kovariansleddet må med. For uavhengige variabler faller det bort.

\operatorname{Cov}(X,Y)kovarians; 0 ved uavhengighet

E [X Y] = E [X] E [Y] (n \overset{a}{˚} r X og Y er uavhengige)

e-prod-uavh

Forventning av produkt (uavhengige)

Logg inn for forklaring

Bare gyldig når X og Y er uavhengige. Implikasjonen er at Cov(X, Y) = 0 ved uavhengighet.

X, Yuavhengige stokastiske variabler

Læringsmål

Hva du skal kunne etter å ha lest kapittelet.

01Regne ut marginal- og betinget-fordelinger fra en gitt felles tetthet ved integrasjon eller summering
02Bruke kovarians og korrelasjon til å beskrive lineær samvariasjon, og forklare hvorfor uavhengighet impliserer null kovarians men ikke omvendt
03Transformere én variabel via Y = g(X) ved Jacobian-formelen, og generalisere til to variabler med Jacobian-determinanten
04Finne fordelingen til summen av uavhengige variabler ved konvolusjon eller via momentgenererende funksjoner

Tilbake til kapittelet

CMD + K

CMD + K

Begreper & formler

Begreper

Formler

Marginal fra felles tetthet

Betinget tetthet

Kovarians

Transformasjon av kontinuerlig variabel

Jacobian for to variabler

Konvolusjon

Korrelasjon

Varians av sum

Forventning av produkt (uavhengige)

Læringsmål