Superposisjon og Thévenin

To verktøy som sparer regning

KCL, KVL og elementlovene er i prinsippet nok til å løse enhver lineær krets — men de er ofte en plagsom vei dit. To kretsteorem gjør analysen radikalt enklere: superposisjonsprinsippet og Thévenin-ekvivalenten. Begge gjelder bare for lineær krets, men det er ikke en alvorlig begrensning siden de aller fleste kretsene vi møter i grunnkurset er nettopp det.

En lineær krets kjennetegnes ved at strømmer og spenninger oppfyller et lineært likningssystem. Dobles alle kildene, dobles alle svarene. Adderer du to løsninger, får du en gyldig løsning for summen av kildene. Akkurat den siste egenskapen er superposisjonsprinsippet.

Superposisjon: én kilde av gangen

superposisjon sier at i en krets med flere kilder kan du finne effekten av hver kilde for seg — med de andre nullstilt — og summere bidragene. Det formelle uttrykket er ƒsuperposisjonsprinsippet.

Å "nullstille" en kilde betyr: erstatt ideelle spenningskilder med kortslutning (V = 0 er en strek), og erstatt ideelle strømkilder med åpen krets (I = 0 er ingen forbindelse). Bare uavhengige kilder nullstilles — styrte kilder blir stående, fordi de uttrykker en sammenheng, ikke en uavhengig drift.

Eksempel: en krets med en 12 V-kilde og en 3 mA-strømkilde. Finn først vR med strømkilden åpen (kun spenningskilden virker). Så vR'' med spenningskilden kortsluttet (kun strømkilden). Den faktiske spenningen er vR + vR''. Du kan ta dette så langt du vil — med N kilder gjør du N separate analyser, hver med færre kilder og lettere regning, og legger sammen til slutt.

Et lite varsel om effekt: superposisjon gjelder for spenninger og strømmer, ikke for effekt. P = V·I er kvadratisk og dermed ikke-lineær. Skal du regne avgitt effekt, finn først total V og total I via superposisjon, og deretter multipliser. Det vanligste feilsteget er å summere effekt-bidragene direkte; det gir feil svar når kildene har overlappende bidrag.

Thévenin: erstatt en hel delkrets med to elementer

Det andre, og kanskje mektigste, teoremet sier: enhver lineær delkrets sett fra to klemmer kan erstattes av en ideell spenningskilde V0 i serie med en motstand R0. Det er thévenin-ekvivalent. De to klemmene kalles en port.

Trikset er at uansett hvor virr-varret bak porten er, oppfører delkretsen seg utad nøyaktig som V0 og R0. Når du henger en last på porten, kan du regne med to elementer i stedet for tjue.

For å finne V0 og R0: - ƒthévenin-spenning: mål spenningen over porten med ingen last (åpen krets). Det er Thévenin-spenningen. - ƒthévenin-motstand: nullstill alle uavhengige kilder og regn ekvivalent motstand sett inn fra porten.

Med last gir Thévenin-kretsen den enkle relasjonen ƒbelastet thévenin-krets — en rett linje i (v, i)-planet, der V0 er nullpunkts-spenning og helningen er −R0.

Indre motstand: hvorfor batterier "synker"

Et virkelig batteri er en Thévenin-modell: V0 er den åpne klemmespenningen (~9 V på et 9 V-batteri uten last), og {{term:indre-motstand}} R0 er det som gjør at klemmespenningen synker når du trekker strøm. Med en last som trekker i, faller v til V0 − R0·i. Et nytt batteri har lav R0; et utbrukt har høy R0, og klemmespenningen kollapser straks noe henger på det.

Det samme mønsteret finner du overalt: en signalgenerator har 50 Ω utgangsmotstand, en op-amp har en (svært lav) utgangsmotstand, en transformator har en wicklingsmotstand. Alle disse er Thévenin-ekvivalenter sett fra utsiden.

Norton: dualen

Det finnes et speilbilde av Thévenin: enhver lineær delkrets kan også erstattes av en ideell strømkilde IN i parallell med en motstand RN. Det er norton-ekvivalent. Sammenhengen med Thévenin er rett frem:

- ƒnorton-strøm: Norton-strømmen er kortslutningsstrømmen mellom A og B — eller, ekvivalent, V0/R0. - ƒnorton-motstand: Norton-motstanden er den samme som Thévenin-motstanden. - ƒthévenin ↔ norton: V0 = R0 · I_N. Du veksler mellom de to representasjonene etter behov.

kortslutningsstrøm mellom A og B gir altså I_N direkte ved måling. I praksis velger man Thévenin når lasten ligger i serie og du tenker spenning-først, og Norton når man har parallelle kilder eller strømdeling foran seg.

For å finne Thévenin- eller Norton-ekvivalenten til en ukjent boks kan du måle to ting fra utsiden: åpen klemmespenning gir V0, og kortslutningsstrøm gir IN. Indre motstand følger av R0 = V0 / I_N. Tre måleresultater og du har en komplett modell — selv om du aldri åpner boksen.

Forsterkere: aktive elementer med styrt kilde

Hittil har alle kilder vært uavhengige — de bryr seg ikke om hva som skjer ellers. Det andre slaget er styrt kilde, der verdien er bestemt av en spenning eller strøm et annet sted i kretsen. Det er denne typen som modellerer transistorer og forsterkere på kretsnivå.

En typisk forsterker har en inngangsport og en utgangsport. Modellen er en parallell inngangsmotstand R1 på inngangen og en styrt spenningskilde A·v1 i serie med en utgangsmotstand R_2 på utgangen. Forholdet mellom inngang og utgang er ƒforsterkermodell, der A er forsterkningsfaktoren.

Vi får tre tall som karakteriserer enhver lineær forsterker: forsterkning A, inngangsimpedans R1, og utgangsimpedans R2. Det er disse som står øverst i databladene, og de avgjør hvor godt forsterkeren "passer" til kilden foran og lasten bak.

Tilkoblingen kan analyseres med Thévenin på begge sider: kilden bak inngangen er en Thévenin-ekvivalent, og inngangsmotstanden R1 lager en spenningsdeler med kildens R0. Vil du ha hele kildespenningen inn, må R1 ≫ R0. På utgangssiden gjør R2 sammen med last-motstanden RL en ny spenningsdeler — vil du ha hele A·v1 ut, må RL ≫ R_2. Forsterker-databladets tall får direkte konsekvenser for hvordan den passer i en signalkjede.

Når superposisjon og Thévenin møter styrte kilder

Superposisjon teller én uavhengig kilde av gangen og nullstiller de andre. Når du finner R_0 i en Thévenin-analyse gjør du noe lignende: alle uavhengige kilder nullstilles. Begge metodene lar styrte kilder stå — fordi de er en sammenheng, ikke en uavhengig drift.

Praktisk: hvis det er både uavhengige og styrte kilder i delkretsen, finner du R0 ved å påtrykke en test-spenning vtest på den nullstilte kretsen, måle test-strømmen itest, og regne R0 = vtest / itest. Da slipper du å nullstille noe som ikke skal nullstilles, og forsterkerens egen tilbakekobling forblir intakt i regnestykket.

Maks effektoverføring — et lite ekstra teorem

Når en Thévenin-ekvivalent (V0, R0) driver en variabel last RL, leverer den maksimal effekt til lasten når RL = R0. Det er en direkte konsekvens av å derivere PL = (V0 / (R0 + RL))² · RL med hensyn på RL. Resultatet er Pmax = V0² / (4 R0), som leveres når halvparten av spenningen faller over R0 og halvparten over RL.

I høyfrekvenssystemer brukes dette aktivt: 50 Ω utgangsmotstand på en generator møter en 50 Ω last, og hele kjeden er "tilpasset". I lavfrekvens-elektronikk er det ofte motsatt — vi vil ha lav R0 ut og høy RL inn, slik at mest mulig spenning overføres, ikke mest mulig effekt. Hvilket regime du jobber i, avgjør hva tilpasning betyr.

Hvordan kapittelet henger sammen

Superposisjon gir deg en algoritme for kretser med flere kilder. Thévenin og Norton lar deg erstatte alt bak en port med to elementer. Styrte kilder gjør at vi kan modellere aktive komponenter som forsterkere på samme språk som de passive. Disse fire ideene — superposisjon, Thévenin, Norton og den styrte kilden — gir grunnlag for nesten alt videre arbeid i analog elektronikk. I de neste kapitlene møter du dem igjen i RC-kretser, operasjonsforsterkere og frekvensanalyse, men selve byggesteinene endres ikke.