Begreper & formler
Alle nøkkelbegrepene og formlene fra Vektorrom, samlet på én side. Bruk denne som oppslag når du leser, øver flashcards eller tar quiz.
Begreper
Sentrale begreper fra kapittelet med korte definisjoner.
Mengde V utstyrt med addisjon og skalarmultiplikasjon som tilfredsstiller de 10 vektorromaksiomene (assosiativitet, kommutativitet, eksistens av 0 og inverser, distribusjon m.fl.).
Ikke-tom delmengde U ⊆ V som selv er et vektorrom under nedarvet addisjon og skalarmultiplikasjon. Tilsvarer å være lukket under addisjon og skalarmultiplikasjon og inneholde 0.
En sum c_1 v_1 + ... + c_n v_n der c_i er skalarer fra grunnlegemet (R eller C).
Mengden av alle lineærkombinasjoner av en gitt mengde vektorer. Alltid det minste underrommet som inneholder mengden.
En mengde {v_1,…,v_n} der den eneste lineærkombinasjonen som gir 0 har alle koeffisienter lik 0.
En mengde som ikke er lineært uavhengig: minst én vektor kan skrives som lineærkombinasjon av de andre.
En lineært uavhengig mengde som utspenner hele vektorrommet. Hver vektor har da unike koordinater.
Den naturlige basisen for et rom — for eksempel {e_1,…,e_n} i R^n eller {1,x,x²,…,xⁿ} i P_n.
Antall vektorer i en basis. Vel-definert: alle basiser har samme antall elementer.
Vektorrom som har en endelig basis. Eksempler: R^n, P_n, M_{m×n}.
Vektorrommet av polynomer av grad høyst n med reelle koeffisienter. Har dimensjon n+1.
Vektorrommet av m×n-matriser med reelle (eller komplekse) elementer. Har dimensjon m·n.
Underrommet {0} som kun består av nullvektoren. Selve V regnes også som et trivielt underrom.
Formler
Hver formel: hva den heter, hvordan den ser ut, og hva symbolene betyr.
Lineærkombinasjon
En vektor v er en lineærkombinasjon av v_1, …, v_n dersom det finnes skalarer c_i slik at likheten holder.
Spenn
Spennet er mengden av alle lineærkombinasjoner. Det er alltid et underrom av det omsluttende vektorrommet.
Test for lineær uavhengighet
{v_1, …, v_n} er lineært uavhengige hvis den eneste lineærkombinasjonen som gir nullvektoren er den trivielle.
Underroms-test
En ikke-tom delmengde U ⊆ V er et underrom hvis den inneholder nullvektoren og er lukket under addisjon og skalarmultiplikasjon.
Dimensjonen av P_n
Polynomer av grad høyst n har basisen {1, x, x^2, …, x^n} — totalt n+1 elementer.
Dimensjonen av matriserommet
Standardbasisen består av matrisene E_{ij} som har 1 i posisjon (i,j) og 0 ellers — m·n elementer.
Antall basisvektorer i R^n
Standardbasisen {e_1, …, e_n} har n vektorer. Enhver basis for R^n har derfor nøyaktig n vektorer.
Dimensjonsformel for sum av underrom
Sammenhengen mellom dimensjonene til to underrom, deres snitt og sum.
Læringsmål
Hva du skal kunne etter å ha lest kapittelet.
- 01Avgjøre om en delmengde av V er et underrom ved hjelp av underroms-testen
- 02Vise at en gitt mengde vektorer er lineært uavhengig og utgjør en basis
- 03Bestemme dimensjonen til endeligdimensjonale rom som R^n, P_n og M_{m×n}
- 04Bruke dimensjonsformelen til å regne ut dim(U+W) gitt dim U, dim W og dim(U∩W)