Ekstremalpunkter

Hva er et ekstremum, egentlig?

Et lokalt maksimum er et punkt a der f(a) ≥ f(x) for alle x i en liten omegn av a. Erstatt ≥ med ≤ så har du lokalt minimum. Tar du hele definisjonsmengden i stedet for en omegn, får du globalt maksimum og globalt minimum. Forskjellen er fundamental: lokalt handler om nær-naboskap, globalt om hele bildet.

Et fjellrike illustrerer alt: hver topp er et lokalt maksimum.

Bare den høyeste toppen er det globale. Mellom to topper finnes ofte en sal — et sadelpunkt — der landskapet stiger i én retning og synker i en annen. Sadelpunkter er ikke ekstrema, men de er kritiske og må klassifiseres.

Førsteordens-betingelse: kritiske punkter

Hvis a er et indre punkt der f er deriverbar og har et lokalt ekstremum, må ƒkritisk punkt. Hvorfor? Fordi den deriverte langs enhver retning må være null — ellers kunne du gått litt fram eller tilbake og økt eller minket verdien. kritisk punkt / stasjonært punkt er punkter der gradienten er null (eller ikke eksisterer).

Eksempel: f(x,y) = x² + y² − 2x − 4y. Vi løser ∇f = (2x − 2, 2y − 4) = 0 og får (1, 2). Det er det eneste kritiske punktet. Om det er maks, min eller sadel kan vi ennå ikke si — for det trenger vi andre orden.

Andrederiverttesten — Hesse gjør jobben

Hvis a er kritisk, blir lineariseringen 0 og hele lokale formen styres av andre-ordens-leddet i Taylor-utviklingen: ƒtaylor 2. orden i to variable. Den kvadratiske formen (h,k) H_f (h,k)^T avgjør om f krummer oppover, nedover eller blandet.

hesse-matrise for to variable er ƒhesse-matrisen (to variable). Vi kunne klassifisert kritisk punkt direkte via egenverdiene til H_f (definit hesse: positiv definit ⇒ min, negativ definit ⇒ maks, indefinit ⇒ sadel), men det er enklere å regne diskriminant ƒdiskriminant. Den er bare determinanten.

Reglene er:

- ƒandrederiverttest — lokalt minimum: Hesse er positiv definit. - ƒandrederiverttest — lokalt maksimum: Hesse er negativ definit. - ƒandrederiverttest — sadelpunkt: egenverdier av motsatt fortegn — sadelpunkt. - ƒandrederiverttest — ubestemt: testen feiler. Funksjonen må undersøkes på annen måte — Taylor høyere orden eller direkte fortegnsanalyse langs retninger.

Tilbake til eksemplet: f(x,y) = x² + y² − 2x − 4y har f{xx} = 2, f{yy} = 2, f{xy} = 0. Da er D = 4 > 0 og f{xx} > 0, så (1, 2) er lokalt minimum. Verdien er f(1,2) = 1 + 4 − 2 − 8 = −5.

Hvorfor D < 0 alltid gir sadel

Determinanten er produktet av egenverdiene. Når D < 0 har vi λ1 λ2 < 0, så ett egenverdi er positiv og ett er negativt. Da finnes en retning der f krummer oppover og en der den krummer nedover. Vi kan gå fra punktet i to forskjellige retninger og få høyere verdier i den ene og lavere i den andre. Definisjon av sadel.

Når D > 0 har egenverdiene samme fortegn — begge positive eller begge negative — og fortegnet til f{xx} (eller f{yy}, det er det samme her) avslører hvilket. Andrederiverttesten er bare et språkdrakt for å lese av disse to skalarene uten å eksplisitt regne egenverdier.

Globalt søk: ekstremalverdisetningen og kandidater

For et lokalt søk holder det med ∇f = 0. Skal du finne det globale maks/min på en lukket og begrenset mengde D, gir ekstremalverdisetningen en garanti for at både maksimum og minimum eksisterer. Du må bare finne dem blant kandidatpunkter: ƒglobale ekstrema på lukket begrenset område.

Strategien deler seg i to:

1. Indre kritiske punkter: løs ∇f = 0 og sjekk om løsningene ligger i indre av D. 2. Randen: parametriser hvert randstykke og reduser til en én-variabel-problem. Finn kritiske punkter for den parametriseringen. Hvis randen er en sirkel kan Lagrange-multiplikatorer være enklere; hvis det er en rektangulær rand må hver kant behandles separat. 3. Hjørner: hjørner mellom to randstykker er nesten alltid kandidater. Inkludér dem.

Til slutt: regn f-verdien i hver kandidat og velg den største og den minste.

Et fullt eksempel

La f(x,y) = x² − 2xy + 2y² − 2x + 2y og D = {(x,y) : 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1}. Indre kritisk punkt: ∇f = (2x − 2y − 2, −2x + 4y + 2) = 0 gir x − y = 1 og x − 2y = 1, så y = 0 og x = 1. Punktet (1, 0) ligger på randekstrema, ikke indre — så det havner i randsøket.

Randen består av fire kanter. På y = 0, 0 ≤ x ≤ 2: f(x, 0) = x² − 2x har derivert 2x − 2, kritisk i x = 1. Verdi: f(1, 0) = −1. På y = 1, 0 ≤ x ≤ 2: f(x, 1) = x² − 4x + 4 = (x − 2)², kritisk i x = 2 (hjørne). På x = 0, 0 ≤ y ≤ 1: f(0, y) = 2y² + 2y, monotont voksende. På x = 2, 0 ≤ y ≤ 1: f(2, y) = 2y² − 2y, kritisk i y = 1/2.

Sammenlign alle kandidater inkludert hjørnene (0,0), (2,0), (0,1), (2,1): f(1,0) = −1, f(2, 1/2) = −1/2, f(0,0) = 0, f(2,0) = 0, f(0,1) = 4, f(2,1) = 0. Globalt min er −1 i (1, 0); globalt maks er 4 i (0, 1).

Når testen feiler

D = 0 betyr at minst én egenverdi er null. Hesse er semidefinit, og andre orden er ikke nok til å avgjøre formen. Klassisk eksempel: f(x,y) = x⁴ + y⁴ har (0,0) som kritisk punkt med H_f = 0-matrisen. Direkte ser vi at f > 0 utenfor origo, så det er et minimum — men ikke fra Hesse alene. Du må fram med høyere-ordens Taylor eller fortegnsanalyse retning for retning. Det er sjeldent en kjepphest på eksamen, men er bra å være klar over.

Et mer tricky degenerert tilfelle er f(x,y) = x² + y³. Her er ∇f = (2x, 3y²), kritisk i (0,0). Hesse er diag(2, 0), D = 0. Hva slags punkt er det? Langs x-aksen ser f ut som x² (minimum); langs y-aksen ser den ut som y³ — som har vendepunkt i origo, så f tar både positive og negative verdier nær origo langs y-aksen. Konklusjon: hverken maks eller min, ikke et klassisk sadel heller — geometrien er degenerert. Lærdommen: D = 0 betyr "vi vet ikke uten å gjøre mer arbeid".

Et eksempel med kvadratiske former

Funksjoner av typen f(x,y) = ax² + 2bxy + cy² er rene kvadratiske former. Gradient er null bare i origo, og Hesse er konstant lik [[2a, 2b], [2b, 2c]]. Tegnet av D = 4(ac − b²) avgjør alt: ac − b² > 0 og a > 0 gir paraboloide-bunn (lokalt min); ac − b² > 0 og a < 0 gir paraboloide-topp; ac − b² < 0 gir sadel. Disse "rene" eksemplene er fine å regne for hånd og bygger intuisjon for den generelle testen.

Tips til oppsett

På eksamen er det lett å glemme at randen er en del av søket. Ha en sjekkliste: (1) regn ∇f og løs ∇f = 0 inne i området; (2) parametriser hvert randstykke separat og finn kritiske punkt der; (3) regn f i hjørnene. Listene legges sammen, og det er den endelige tabellen f(p_i) du sammenligner. Mister du ett kandidatpunkt, mister du potensielt det riktige svaret.

Husk også at andrederiverttesten klassifiserer kritiske punkt — ikke alle ekstrempunkter. Et globalt maks på rand av et lukket område trenger ikke ha ∇f = 0; randen kan tvinge fram et maksimum uten at de partielle deriverte forsvinner. Det er nettopp derfor kandidat-listen må inkludere randen eksplisitt.