Vektorrom

Hva er et vektorrom?

Da vi møtte R^2 og R^3 på første år handlet alt om piler i planet og rommet: legg sammen, gang med tall, mål lengder og vinkler. Et vektorrom generaliserer dette. Vi tar en mengde V og to operasjoner — addisjon og skalarmultiplikasjon — og forlanger at de oppfører seg som de gjør i R^n. De ti aksiomene koder dette: assosiativitet, kommutativitet, eksistens av en nullvektor, eksistens av inverser, og distribusjon av skalarer over sum.

Det viktige er at vektorene ikke trenger å være «piler». Polynomer kan være vektorer. Matriser kan være vektorer. Selv kontinuerlige funksjoner blir vektorer i passende rom. Aksiomene gir oss et rammeverk som vi kan resonnere innenfor uten å bry oss om hva elementene «egentlig» er.

Vi skriver typisk skalarene som elementer i grunnlegemet R. Da kalles V et reelt vektorrom. Komplekse vektorrom bruker C i stedet, og teorien er helt parallell — bare med litt mer omhu i tilfeller der kompleks-konjugering kommer inn.

Underrom — vektorrom i et vektorrom

Et underrom er en delmengde U av V som selv er et vektorrom under de samme operasjonene. Vi trenger ikke sjekke alle ti aksiomer på nytt — de fleste arves gratis fra V. Det som gjenstår er den lille testen ƒunderroms-test: U må inneholde nullvektoren, være lukket under addisjon, og være lukket under skalarmultiplikasjon.

Et raskt eksempel: alle plan gjennom origo i R^3 er underrom. Et plan som ikke går gjennom origo er det ikke — det inneholder ikke 0. Hele V er alltid et underrom, og det er også trivielt underrom {0} som bare består av nullvektoren. Disse to ekstreme tilfellene er kjedelige i seg selv, men er ofte nyttige referansepunkter når vi prater om kjerner og bilder senere.

Underrom dukker opp overalt. Løsningsmengden til et homogent ligningssystem Ax = 0 er et underrom av R^n. Det er ingen tilfeldighet; det følger direkte fra at A er lineær — to løsninger summert er en løsning, en løsning skalert er en løsning. Kjernen og bildet av en lineærtransformasjon, som vi møter i neste kapittel, er også underrom. Stort sett alt vi gjør med matriser handler i bunn og grunn om å beskrive underrom — kolonnerommet, radrommet, nullrommet og venstre-nullrommet henger sammen i et rikt mønster vi snart skal pakke ut.

Lineærkombinasjoner og spenn

En lineærkombinasjon er en endelig sum ƒlineærkombinasjon der c_i er skalarer. Det er den enkleste byggeklossen i lineær algebra, og hele teorien ruller ut fra denne ene operasjonen.

spenn til en mengde {v1,…,vn} er settet av alle slike lineærkombinasjoner — fullstendig fanget av ƒspenn. Spennet er alltid et underrom. Det inneholder 0 (sett alle c_i = 0), er lukket under addisjon (sum av to lineærkombinasjoner er igjen en lineærkombinasjon), og under skalarmultiplikasjon. I praksis bygger vi vektorrom ved å oppgi en mengde og se hva den utspenner.

Eksempel: i R^3 utspenner {(1,0,0), (0,1,0)} xy-planet.

Legg til (1,1,0) — fortsatt samme plan, fordi den vektoren ligger allerede i spennet. Legg til (0,0,1) i stedet, og du har plutselig hele R^3. Den ene vektoren utgjør forskjellen mellom et todimensjonalt plan og hele tredimensjonale rommet.

Lineær uavhengighet

Eksemplet over peker på et viktig poeng: noen vektorer er overflødige — de er allerede med i spennet til de andre. lineært uavhengig formaliserer dette. En mengde er lineært uavhengig hvis ƒtest for lineær uavhengighet — den eneste lineærkombinasjonen som gir nullvektoren har alle koeffisientene lik 0.

Om dette ikke holder, kaller vi mengden lineært avhengig. Det er ekvivalent med at minst én av vektorene kan skrives som en lineærkombinasjon av de andre. Den vektoren er da overflødig — fjerner vi den, endrer ikke spennet seg.

Avhengighet sjekkes praktisk ved å sette opp matrisen med vektorene som kolonner og redusere. Hvis noen kolonner mangler pivot, er de avhengige av de andre. I R^n gjelder også en rask grenseverdi: har du flere enn n vektorer, er de garantert lineært avhengige. Det er rett og slett ikke plass til mer enn n uavhengige retninger.

Basis — verken for liten eller for stor

Vi vil ha en mengde som verken er for liten eller for stor til å beskrive V. En basis for V er en lineært uavhengig mengde som samtidig utspenner V. Det betyr at hver vektor i V kan skrives som en lineærkombinasjon av basisvektorene — og at uttrykket er unikt. Skalarene som dukker opp er det vi kaller koordinatene til vektoren.

Den mest velkjente basisen er standardbasis. I R^n er det {e1,…,en}, der ei har 1 i posisjon i og 0 ellers. I Pn er det {1, x, x², …, xⁿ}. Men det finnes uendelig mange andre basiser. {(1,1), (1,−1)} er for eksempel også en basis for R^2 — bare litt rotert i forhold til standardbasisen.

Dette er noe neste kapittel henter ut: ulike basiser er ulike koordinatsystemer for det samme rommet. En lineærtransformasjon ser annerledes ut i ulike basiser, men er fortsatt den samme avbildningen. Riktig valg av basis kan gjøre et vanskelig problem trivielt.

Dimensjon — antallet er fast

Når vi har en basis, kan vi snakke om antall basisvektorer. dimensjon er nettopp dette tallet. Den dype observasjonen er at antallet er det samme uansett hvilken basis vi velger — alle basiser for samme endeligdimensjonale rom har samme størrelse. Det gjør dimensjon til en invariant av selve vektorrommet, ikke av et bestemt valg av basis.

For R^n er svaret enkelt: ƒantall basisvektorer i r^n. Et endeligdimensjonalt rom er definert som et rom som har en endelig basis i det hele tatt — i motsetning til funksjonsrom som ofte er uendeligdimensjonale.

Mellom to underrom U og W av V gjelder den fine relasjonen ƒdimensjonsformel for sum av underrom.

Den lille formelen forteller hvordan dimensjoner kombineres når vi tar sum og snitt. Spesielt: er U ∩ W = {0} kollapser snitt-leddet til null, og dimensjonen til den direkte summen U ⊕ W er simpelthen dim U + dim W.

P_n og matriserommet — abstrakt blir konkret

To eksempler illustrerer hvor mye man får gratis fra det abstrakte rammeverket. p_n er rommet av polynomer av grad høyst n. Addisjon og skalarmultiplikasjon er det vanlige fra videregående. Standardbasisen er {1, x, x², …, xⁿ}, så ƒdimensjonen av p_n.

matriserommet m_{m×n} er rommet av m×n-matriser med reelle elementer. Addisjon og skalarmultiplikasjon er elementvis. Standardbasisen består av matrisene E_{ij} som har 1 i posisjon (i,j) og 0 ellers, så ƒdimensjonen av matriserommet.

Begge rommene er strukturelt det samme som R^k for passende k. Det er essensen av dimensjon: et endeligdimensjonalt reelt vektorrom er fullstendig bestemt av dimensjonen sin. Når vi i neste kapittel snakker om koordinatvektorer, er det nettopp denne ekvivalensen vi utnytter — vi kan regne på polynomer og matriser med vanlige R^n-verktøy bare ved å oversette over koordinatkartet.

Hva skal sitte etter dette kapittelet

Tre poenger er verdt å ta med seg videre. Det første er at vektorrom er en algebraisk struktur, ikke et bilde — vi kan regne på «vektorer» som er polynomer, matriser eller funksjoner, og resultater fra R^n følger med på flyttelasset så lenge aksiomene holder. Det andre er at dimensjon er en velbestemt størrelse: alle basiser har samme antall elementer, og dette tallet er en invariant av rommet selv. Det tredje er at underrom er stedet hvor det meste av faget utspiller seg — kjerner, bilder, egenrom og løsningsmengder er alle underrom, og spørsmål om dimensjon og basis besvarer det meste vi ønsker å vite om dem.