Lineærtransformasjoner

Hva er en lineærtransformasjon?

En lineærtransformasjon T : V → W er en avbildning mellom vektorrom som respekterer strukturen — addisjon og skalarmultiplikasjon. Hele definisjonen koker ned til én linje: ƒlinearitet. To likheter pakket inn i én: T av en sum er summen av T-ene, og T av en skalar ganger en vektor er skalaren ganger T av vektoren.

Konsekvensene er sterke. Nullvektoren går alltid til nullvektoren, fordi T(0) = T(0·v) = 0·T(v) = 0.

Og hele oppførselen til T er fastlagt av hva den gjør på en basis: vet du T(bi) for hver basisvektor bi, så vet du T(v) for alle v, fordi T(c1 b1 + … + cn bn) = c1 T(b1) + … + cn T(bn).

Eksempler dukker opp overalt. Multiplikasjon med en gitt matrise A er en lineærtransformasjon: T(x) = Ax. Den deriverte D : Pn → P{n−1} er lineær — derivasjon av en sum er summen av de deriverte, derivasjon av en skalar ganger en funksjon er skalaren ganger den deriverte. Integralet over et fast intervall er lineært. Rotasjoner og refleksjoner i planet er lineære. Det er ikke en tilfeldighet — de ulike feltene i matematikk og fysikk er bundet sammen av lineærtransformasjonene mellom dem, og hele dette kapittelet handler om hvordan vi systematisk beskriver dem.

Kjerne og bilde

Til hver T hører to underrom: ett i V og ett i W. kjerne (ker t) er settet av v ∈ V som avbildes til 0. rekkevidde / bilde (range t) er settet av w ∈ W som faktisk blir truffet. Begge er underrom, og de forteller komplementære ting om T.

Kjernen sier oss om T er injektiv. T er injektiv hvis og bare hvis Ker T = {0}: hvis ingen ikke-null vektor avbildes til 0, kan to forskjellige vektorer ikke ha samme bilde. Tenk på det slik: T(u) = T(v) er ekvivalent med T(u−v) = 0, som er ekvivalent med at u−v ∈ Ker T. Trivielle kjerne betyr ingen kollisjoner.

Rekkevidden sier oss om T er surjektiv. T er surjektiv akkurat når Range T = W — hele kodomenet treffes. Er T både injektiv og surjektiv kaller vi den en isomorfi. To endeligdimensjonale rom er isomorfe nøyaktig når de har samme dimensjon, akkurat som vi så i forrige kapittel.

I matrisespråk er bildet enkelt: hvis T er multiplikasjon med matrise A, så er Ker T løsningsmengden til Ax = 0, og Range T er kolonnerommet til A. Det er kjente størrelser fra første år, men nå i en mer abstrakt drakt som lar oss snakke om alle lineærtransformasjoner under ett.

Rangteoremet — to størrelser, én sum

rang er dimensjonen til Range T. nullitet er dimensjonen til Ker T. Sammenhengen mellom dem kalles rangteoremet: ƒrangteoremet.

Teoremet er enklere enn det ser ut. Tenk på det som regnskap. Hver dimensjon i V havner enten i kjernen (forsvinner under T) eller bidrar til bildet (overlever som en uavhengig retning i W).

Summen kan ikke bli mer eller mindre enn det vi startet med — dim V regnskapet skal stemme.

Konsekvensene gjør oppgaver enklere. Hvis dim V = dim W og T er injektiv, så er den automatisk surjektiv — og motsatt. For en kvadratisk matrise betyr det at A er invertibel hvis og bare hvis Ax = 0 har bare den trivielle løsningen. Resultatet gjelder ikke uten dimensjonsantagelsen: D : Pn → P{n−1} har nullitet 1 (de konstante polynomene) og rang n, så den er surjektiv men ikke injektiv.

Koordinater gjør abstrakt til regning

For et endeligdimensjonalt rom med basis B = {b1, …, bn} kan hver vektor v skrives entydig som c1 b1 + … + cn bn. koordinatvektor [v]_b [v]_B er kolonnen av disse skalarene, akkurat som i ƒkoordinatvektor i basis b.

Koordinatvektoren oversetter abstrakt vektor til konkret R^n-vektor. Da kan vi ta T over i matriseverdenen. matriserepresentasjon [t]_b er gitt ved ƒmatriserepresentasjon, der [T]B er matrisen med kolonnene [T(b1)]B, …, [T(bn)]_B. T blir til vanlig matrisemultiplikasjon, og det abstrakte er redusert til regning.

Konkret eksempel: la T : P2 → P2 være den deriverte. Bruk basisen {1, x, x²}. Da er T(1) = 0, T(x) = 1, T(x²) = 2x. Matrisen blir den med kolonner (0,0,0), (1,0,0), (0,2,0). Sjekker du [T]_B · (a,b,c)^T får du (b, 2c, 0) — koordinatene til den deriverte av polynomet a + b x + c x². Magien er ikke borte; den er bare blitt lineær algebra.

Basisbytte

Vi har ofte flere basiser tilgjengelig, og spørsmålet er hvordan koordinatene endrer seg når vi går mellom dem. overgangsmatrise P{C←B} er matrisen som tar koordinater i B og gir koordinater i C: {{f:basisbytte}}. Kolonnene er rett og slett [bi]_C — koordinatene til hver gamle basisvektor uttrykt i den nye basisen.

P{C←B} er alltid invertibel, og den inverse er P{B←C}. Det er bare den motsatte oversettelsen — overgangsmatriser kommer alltid i invertible par.

For matriserepresentasjonen av T tar dette form ƒendring av matriserepresentasjon. Den lille formelen er hjørnesteinen i diagonalisering: velger vi en basis av egenvektorer, blir [T] diagonal, og T blir lett å forstå. Det er det samme T, men sett gjennom et koordinatsystem som passer bedre.

Indreprodukt og ortogonalitet i R^n

Hittil har vi kun brukt addisjon og skalarmultiplikasjon. Vi har ikke målt lengder eller vinkler. indreprodukt i r^n legger til denne strukturen. I R^n er det standard prikkprodukt ƒindreprodukt i r^n. Det er bilineært, symmetrisk og positivt definit — alle de aksiomene som blir generalisert i neste kapittel.

Normen ||v|| = √⟨v,v⟩ måler lengde, og avstanden mellom u og v er ||u − v||. Vinkelen θ mellom to vektorer er definert via cos θ = ⟨u, v⟩ / (||u|| · ||v||). To vektorer er ortogonal hvis ⟨u, v⟩ = 0, og i R^n stemmer det med den geometriske intuisjonen — de står normalt på hverandre.

En sentral konstruksjon er ƒprojeksjon på en vektor. Den finner skygge-vektoren til u langs v: den eneste skaleringen av v slik at differansen u − αv står ortogonalt på v.

Projeksjoner brukes overalt — fra minste kvadraters metode til Fourier-rekker — og er bindeleddet over i neste kapittel hvor vi løfter hele apparatet til generelle indreproduktrom.

Et lite eksempel som binder det sammen

La oss kjøre en konkret beregning som drar inn flere av begrepene. Definer T : R^3 → R^2 ved T(x, y, z) = (x + y, y − z). Den er lineær (sjekk forsiden av papiret). Kjernen finner vi ved å løse x + y = 0 og y − z = 0, som gir (x, y, z) = (−t, t, t) for t ∈ R. Det er en linje i R^3, så dim Ker T = 1.

Rangteoremet gir umiddelbart dim Range T = 3 − 1 = 2, så T er surjektiv. Dette stemmer geometrisk: T avbilder R^3 ned i R^2 på en måte som dekker hele kodomenet. Bildet av standardbasisen {e1, e2, e3} gir oss matrisen til T i standardbasisene: kolonnene blir T(e1) = (1, 0), T(e2) = (1, 1) og T(e3) = (0, −1).

Bytter vi til en annen basis i R^2, for eksempel C = {(1, 1), (1, −1)}, må vi finne overgangsmatrisen P{C ← E} der E er standardbasisen. Den er rett og slett invers av matrisen som har kolonner (1, 1) og (1, −1). En kort utregning gir P{C ← E} = ½ · [[1, 1], [1, −1]]. Multipliser, og du har matriserepresentasjonen til T i den nye basisen — samme avbildning, ny drakt. Hele dette kapittelet handler om å bli flytende mellom slike drakter.