Begreper & formler
Alle nøkkelbegrepene og formlene fra Lineærtransformasjoner, samlet på én side. Bruk denne som oppslag når du leser, øver flashcards eller tar quiz.
Begreper
Sentrale begreper fra kapittelet med korte definisjoner.
Avbildning T : V → W mellom vektorrom som bevarer addisjon og skalarmultiplikasjon: T(au+bv) = aT(u)+bT(v).
Mengden av w ∈ W slik at w = T(v) for en eller annen v ∈ V. Alltid et underrom av W.
Dimensjonen til Range T. For en matrise: antall lineært uavhengige kolonner (= antall uavhengige rader).
T er injektiv (én-til-én) hvis T(u)=T(v) ⇒ u=v. Ekvivalent: Ker T = {0}.
T er surjektiv (på) hvis Range T = W: hver w ∈ W treffes av en eller annen v.
Bijektiv lineærtransformasjon. To endeligdimensjonale vektorrom er isomorfe ⇔ de har samme dimensjon.
Vektoren av skalarer som uttrykker v som lineærkombinasjon av basisvektorene i B. Avhenger av valg av basis.
Matrisen som virker som T når vektorene oversettes til koordinater: [T(v)]_B = [T]_B [v]_B.
Matrisen P_{C←B} som konverterer koordinater fra basis B til basis C. Kolonnene er [b_i]_C.
Standard prikkprodukt ⟨u,v⟩ = u^T v. Indusert norm: ||v|| = √⟨v,v⟩.
To vektorer u, v er ortogonale dersom ⟨u,v⟩ = 0. I R^n: de står normalt på hverandre.
Formler
Hver formel: hva den heter, hvordan den ser ut, og hva symbolene betyr.
Linearitet
Definisjonen av en lineærtransformasjon: bevarer addisjon og skalarmultiplikasjon. Ekvivalent med T(u+v)=T(u)+T(v) og T(cu)=cT(u).
Rangteoremet
For en lineærtransformasjon T : V → W er nulliteten pluss rangen lik dimensjonen til definisjonsrommet.
Koordinatvektor i basis B
Hvis B={b_1,…,b_n} er en basis er koordinatene c_i entydige.
Matriserepresentasjon
[T]_B er matrisen med kolonnene [T(b_1)]_B, …, [T(b_n)]_B. Lar oss regne på T som en vanlig matrise.
Basisbytte (overgangsmatrise)
Kolonnene i P_{C←B} er koordinatvektorene [b_i]_C. Overgangsmatrisen er alltid invertibel: (P_{C←B})^{-1} = P_{B←C}.
Endring av matriserepresentasjon
Slik knyttes matriserepresentasjonene i to ulike basiser sammen.
Indreprodukt i R^n
Standard prikkprodukt. Norm: ||v|| = √⟨v,v⟩. Vinkel: cos θ = ⟨u,v⟩/(||u||·||v||).
Projeksjon på en vektor
Den ortogonale projeksjonen av u ned på linjen utspent av v ≠ 0.
Læringsmål
Hva du skal kunne etter å ha lest kapittelet.
- 01Avgjøre om en gitt avbildning er lineær og finne kjernen og bildet
- 02Bruke rangteoremet til å regne ut dim(Ker T) og dim(Range T)
- 03Konstruere matriserepresentasjonen [T]_B fra basisbildene og regne T(v) ved matrisemultiplikasjon
- 04Bytte mellom to basiser via en overgangsmatrise og oppdatere matriserepresentasjonen tilsvarende