Begreper & formler
Alle nøkkelbegrepene og formlene fra Ekstremalpunkter, samlet på én side. Bruk denne som oppslag når du leser, øver flashcards eller tar quiz.
Begreper
Sentrale begreper fra kapittelet med korte definisjoner.
Punkt a der f(a) ≥ f(x) for alle x i hele definisjonsmengden.
Punkt a der f(a) ≤ f(x) for alle x i hele definisjonsmengden.
Kritisk punkt som verken er lokalt maks eller min — f vokser i én retning og avtar i en annen.
Indre punkt der ∇f = 0 (eller hvor minst én partiell derivert ikke eksisterer). Alle indre ekstrema må være kritiske punkt.
Matrisen H_f av andrederiverte. Brukes til å klassifisere kritiske punkter via egenverdier eller diskriminant.
D = f_{xx} f_{yy} − f_{xy}² for funksjoner av to variable. Sammen med fortegnet til f_{xx} avgjør den arten av kritiske punkt.
Klassifiserer kritisk punkt: D>0 og f_{xx}>0 ⇒ lok. min; D>0 og f_{xx}<0 ⇒ lok. maks; D<0 ⇒ sadelpunkt; D=0 ⇒ inkonklusiv.
En kontinuerlig funksjon på en lukket og begrenset mengde antar sine globale maksimum og minimum.
Ekstremalpunkter som ligger på randen av et lukket område. Må behandles separat fra indre kritiske punkter.
Samlingen av punkter du må sjekke for å finne globale ekstrema: indre kritiske punkt, kritiske punkt på rand-stykker, og eventuelle hjørner.
Hesse-matrisen er positiv definit hvis alle egenverdier er positive (lokalt minimum), negativ definit hvis alle er negative (lokalt maksimum), og indefinit hvis fortegnene blandes (sadelpunkt).
Formler
Hver formel: hva den heter, hvordan den ser ut, og hva symbolene betyr.
Kritisk punkt
I et indre punkt der f er deriverbar og har ekstremum må gradienten være null. Disse kandidatpunktene kalles kritiske eller stasjonære punkter.
Hesse-matrisen (to variable)
Matrisen av andrederiverte. Symmetrisk når blandede deriverte er kontinuerlige (Schwarz/Clairaut).
Diskriminant
Determinanten til Hesse-matrisen, brukes i andrederiverttesten.
Andrederiverttest — lokalt minimum
Hesse er positiv definit; f krummer oppover i alle retninger.
Andrederiverttest — lokalt maksimum
Hesse er negativ definit; f krummer nedover i alle retninger.
Andrederiverttest — sadelpunkt
Hesse har egenverdier av motsatt fortegn. Ingen ekstremum.
Andrederiverttest — ubestemt
Da må man undersøke funksjonen lokalt på annen måte (Taylor høyere orden, retning for retning).
Globale ekstrema på lukket begrenset område
Ekstremalverdisetningen sikrer at maks og min eksisterer. Strategi: sjekk gradienten innenfor og parametriser/restrict på rand-stykker; sammenlign verdier.
Taylor 2. orden i to variable
I et kritisk punkt forsvinner førsteordens-leddet, så Hesse-matrisen styrer den lokale formen helt og holdent.
Læringsmål
Hva du skal kunne etter å ha lest kapittelet.
- 01Finne alle kritiske punkter ved å løse ∇f = 0 i konkret eksempel
- 02Klassifisere kritiske punkter med andrederiverttesten via D og f_xx
- 03Forklare hvorfor D < 0 alltid gir sadelpunkt med Hesse sine egenverdier
- 04Sette opp full kandidatliste (indre + rand + hjørner) på et lukket område og velge globalt maks/min