Begreper & formler
Alle nøkkelbegrepene og formlene fra Indreproduktrom, samlet på én side. Bruk denne som oppslag når du leser, øver flashcards eller tar quiz.
Begreper
Sentrale begreper fra kapittelet med korte definisjoner.
En avbildning ⟨·,·⟩ : V×V → R som er symmetrisk, lineær i første argument og positiv definit. Generaliserer prikkproduktet.
Vektorrom utstyrt med et indreprodukt. Får automatisk norm og avstand.
||v|| = √⟨v,v⟩. Måler "lengde" og oppfyller homogenitet, positivitet og trekantulikheten.
Mengde {v_1,…,v_n} der ⟨v_i,v_j⟩ = 0 for alle i ≠ j. Ortogonale ikke-null-vektorer er automatisk lineært uavhengige.
Basis som samtidig er ortonormal. Da gjelder v = Σ ⟨v,e_i⟩ e_i og koordinatene leses av direkte fra indreprodukt.
Underrommet av alle vektorer som står ortogonalt på hele W. Det gjelder V = W ⊕ W^⊥ for endeligdimensjonale rom.
Algoritme som transformerer en lineært uavhengig mengde {v_1,…,v_n} til en ortogonal (eller, etter normalisering, ortonormal) basis for samme spenn.
Den entydige vektoren proj_W v ∈ W slik at v − proj_W v ∈ W^⊥. Konstrueres via formelen Σ ⟨v,e_i⟩ e_i når W har ortonormal basis.
Approksimasjonsteoremet sier at proj_W v er den vektoren i W som ligger nærmest v målt i normen indusert av indreproduktet.
Ulikheten |⟨u,v⟩| ≤ ||u||·||v|| som holder i alle indreproduktrom.
δ_{ij} = 1 hvis i = j, ellers 0. Brukes til å uttrykke at en mengde er ortonormal: ⟨e_i,e_j⟩ = δ_{ij}.
Formler
Hver formel: hva den heter, hvordan den ser ut, og hva symbolene betyr.
Aksiomene for indreprodukt
Symmetri (eller konjugert symmetri), linearitet i første argument, og positiv definit (=0 kun for v=0).
Norm fra indreprodukt
Indreprodukt-rommet får automatisk en norm som tilfredsstiller trekantulikheten.
Cauchy–Schwarz-ulikheten
Likhet hvis og bare hvis u og v er lineært avhengige.
Pytagoras i indreproduktrom
Holder i ethvert indreproduktrom; generaliseringen av Pytagoras til vektorer.
Gram–Schmidt
Konstruerer en ortogonal basis {w_1,…,w_n} fra en lineært uavhengig mengde {v_1,…,v_n}. Normaliser deretter for ortonormal basis.
Projeksjon på underrom (ortonormal basis)
Når {e_1,…,e_k} er en ortonormal basis for W. Med ortogonal basis må man dele på ⟨w_i,w_i⟩.
Beste approksimasjonsteorem
proj_W v er den vektoren i W som ligger nærmest v — likhet bare for w = proj_W v.
Ortogonalt komplement
W^⊥ er alltid et underrom. Det gjelder V = W ⊕ W^⊥ og (W^⊥)^⊥ = W når V er endeligdimensjonalt.
Ortonormal basis (Kronecker)
δ_ij er 1 hvis i=j og 0 ellers. Lar oss skrive v = Σ ⟨v,e_i⟩ e_i.
Læringsmål
Hva du skal kunne etter å ha lest kapittelet.
- 01Verifisere indreproduktaksiomene for et gitt produkt og bruke Cauchy–Schwarz på konkrete vektorer
- 02Kjøre Gram–Schmidt på en gitt basis og normalisere til en ortonormal basis
- 03Regne ut projeksjonen av en vektor på et underrom og finne beste approksimasjon
- 04Beskrive ortogonalt komplement og bruke V = W ⊕ W^⊥ til å splitte vektorer