Begreper & formler
Alle nøkkelbegrepene og formlene fra Differensialligninger, samlet på én side. Bruk denne som oppslag når du leser, øver flashcards eller tar quiz.
Begreper
Sentrale begreper fra kapittelet med korte definisjoner.
Skalaren λ og ikke-null-vektoren v slik at Av = λv. Røtter av det karakteristiske polynomet det(A − λI) = 0.
A er diagonaliserbar hvis det finnes en invertibel P og diagonal D med A = PDP⁻¹. Ekvivalent: A har n lineært uavhengige egenvektorer.
Systemet y' = Ay (med eller uten driv). Løses ved diagonalisering eller eksponensiering av matrisen.
For lineær 2. ordens ay''+by'+cy=0 er det den algebraiske ligningen ar²+br+c=0. Røttenes natur bestemmer løsningsformen.
En differensialligning y' = f(t,y) med en gitt startverdi y(t_0) = y_0. Numeriske metoder produserer approksimasjoner u_n ≈ y(t_n).
Eksplisitt ettstegsmetode u_{n+1} = u_n + hf(t_n,u_n). Global feil O(h) — første orden.
Bakover-Euler u_{n+1} = u_n + hf(t_{n+1}, u_{n+1}). Krever ligningløsning hvert steg, men er stabil for stive problemer.
Implisitt metode u_{n+1} = u_n + (h/2)(f(t_n,u_n) + f(t_{n+1},u_{n+1})). Andre orden.
Familie av ettstegsmetoder med s mellom-evalueringer K_i av f. Klassisk RK4 er et eksempel.
Kompakt notasjon for en RK-metode: knutene c, koeffisientene a_{ij} og vektene b_i ordnet i en tabell.
Metode der u_{n+1} kan beregnes direkte fra kjente verdier. I Butcher-tablået: A er strengt nedre triangulær.
Metode der u_{n+1} (eller en av K_i) opptrer på begge sider og en ligning må løses hvert steg. A har minst ett ikke-null-element på eller over diagonalen.
Feilen i ett enkelt steg sammenlignet med eksakt løsning, gitt at starten av steget er eksakt. For en metode av orden p: O(h^{p+1}).
Akkumulert feil ved tiden t etter mange steg. For en metode av orden p: O(h^p).
En metode er konvergent hvis u_n → y(t_n) når h → 0. Ekvivalent (under stabilitet): konsistens + nullstabilitet.
Lokal feil → 0 raskere enn h når h → 0. Nødvendig betingelse: Σ b_i = 1.
Den klassiske 4-stegs eksplisitte Runge–Kutta-metoden. Global feil O(h⁴). Mest brukte ettstegs-metode i ingeniørberegninger.
Eksplisitt 2-stegs RK-metode av orden 2 som bruker f evaluert i intervallets midtpunkt etter en Euler-prediksjon. Også kalt eksplisitt midtpunkt.
Differensialligninger der løsningen inneholder komponenter med svært ulik tidsskala. Krever implisitte metoder (bakover-Euler, Crank–Nicolson) for stabilitet uten ekstrem liten h.
For 2×2-matriser er spor(A) = a + d og det(A) = ad − bc. Det karakteristiske polynomet blir p(λ) = λ² − spor(A)·λ + det(A).
Tidsavstanden h = t_{n+1} - t_n mellom nabopunkter i en numerisk metode. Mindre h gir vanligvis mindre feil, men flere steg og mer akkumulert avrundingsfeil.
Formler
Hver formel: hva den heter, hvordan den ser ut, og hva symbolene betyr.
Diagonalisering
A er diagonaliserbar hvis det finnes en invertibel P og en diagonal D slik at likheten holder. Kolonnene i P er egenvektorer; diagonalen i D er egenverdier.
Løsning av lineært system y' = A y
Her er λ_i egenverdier og v_i tilhørende egenvektorer av A. Konstantene bestemmes av initialverdier.
Karakteristisk ligning (2. ordens)
For ay''+by'+cy = 0. To distinkte røtter r_1, r_2 gir y = C_1 e^{r_1 t} + C_2 e^{r_2 t}; dobbeltrot r gir y=(C_1+C_2 t)e^{rt}; komplekse røtter α±iβ gir e^{αt}(C_1 cos βt + C_2 sin βt).
Eulers metode (eksplisitt)
Enkleste eksplisitte ettstegsmetode. Global feil O(h) — første orden.
Implisitt (bakover) Euler
Krever løsning av en (vanligvis ikke-lineær) ligning i u_{n+1}. Stabilitetsvennlig for stive problemer. Global feil O(h).
Trapesmetoden / Crank–Nicolson
Implisitt, andre orden. Symmetrisk gjennomsnitt av f i endepunktene.
Generell Runge–Kutta-metode
Butcher-tablået oppsummerer hele metoden ved å plassere knutene c og koeffisientene a_{ij} i en blokk øverst og vektene b_i på en linje under. Eksplisitt ⇔ A er strengt nedre triangulær.
Sammenheng lokal/global feil
En metode av orden p har global avbruddsfeil av orden p.
Konsistens av Runge–Kutta
Nødvendig betingelse for at metoden er konsistent (orden minst 1).
Klassisk RK4
Den klassiske 4-stegs eksplisitte RK-metoden. K_1 = f(t_n, u_n), K_2 = f(t_n + h/2, u_n + (h/2)K_1), K_3 = f(t_n + h/2, u_n + (h/2)K_2), K_4 = f(t_n + h, u_n + hK_3). Global feil O(h^4).
Midtpunktmetoden (RK2)
Eksplisitt 2-stegs metode av orden 2. Bruker f evaluert i intervallets midtpunkt med en Euler-prediksjon der.
Karakteristisk polynom
Røttene til p(λ) = 0 er egenverdiene til A. For 2×2: p(λ) = λ² − (spor A)λ + det A.
Spor og determinant (2x2)
For 2×2-matriser bestemmer spor og determinant det karakteristiske polynomet alene.
Diagonal eksponentiering
Når A er diagonaliserbar, blir matrise-eksponentialen enkel: skift basis, eksponensiér diagonalen, skift tilbake.
Læringsmål
Hva du skal kunne etter å ha lest kapittelet.
- 01Diagonalisere en 2x2-matrise og skrive løsningen av y'=Ay som lineærkombinasjon av e^{λt}v
- 02Løse lineære 2. ordens ligninger ved å klassifisere røttene av karakteristisk ligning
- 03Sette opp eksplisitt Euler, trapesmetoden og RK4, og avgjøre orden fra Butcher-tablå
- 04Forklare hvorfor implisitte metoder kreves for stive problemer og koble lokal/global feilorden