Begreper & formler
Alle nøkkelbegrepene og formlene fra Funksjoner og derivasjon, samlet på én side. Bruk denne som oppslag når du leser, øver flashcards eller tar quiz.
Begreper
Sentrale begreper fra kapittelet med korte definisjoner.
Funksjon f : R^n → R som tar inn en vektor og gir ut en skalar.
Funksjon r : R → R^n (kurve) eller F : R^n → R^m (vektorfelt) som har vektorverdier.
Mengden av tillatte inngangsverdier. For f(x,y)=√(1−x²−y²) er definisjonsmengden enhetsskiven.
Mengden av faktiske utgangsverdier — bildet av definisjonsmengden under f.
Mengde der hvert punkt har en omegn (kule) som ligger helt inni mengden. Komplementet av en lukket mengde.
Mengde som inneholder alle sine randpunkter. Komplementet av en åpen mengde.
Sekvens av vektorer (a_k)_{k=1}^{∞} i R^n. Konvergerer mot a hvis ||a_k − a|| → 0.
lim_{(x,y)→(a,b)} f(x,y) = L betyr at f(x,y) kan gjøres vilkårlig nær L ved å velge (x,y) tilstrekkelig nær (a,b) — uavhengig av tilnærmingsvei.
f er kontinuerlig i a hvis grensen i a eksisterer og er lik f(a).
Vanlig derivert med hensyn på én variabel, alle andre holdt konstante. Måler endringsrate langs koordinataksene.
D_u f(a) = ∇f(a)·u for enhetsvektor u. Generaliserer partielle deriverte til vilkårlige retninger.
Vektoren ∇f av alle partielle deriverte. Står normalt på nivåkurver/-flater og peker i retning der f vokser raskest.
f er deriverbar i a hvis f(a+h) = f(a) + ∇f(a)·h + ε(h) der ε(h)/||h|| → 0. Sterkere enn eksistens av partielle deriverte.
Den lineære funksjonen L(x) = f(a) + ∇f(a)·(x−a) som best approksimerer f nær a.
Grafen til lineariseringen — planet som tangerer flaten z = f(x,y) i punktet (a,b,f(a,b)).
For deriverbar f på linjestykket fra a til b finnes c på stykket slik at f(b) − f(a) = ∇f(c)·(b−a).
Settet av (x,y) der f(x,y) = c (i 2D) eller (x,y,z) der f(x,y,z) = c (i 3D). Gradienten ∇f står normalt på nivåkurven/-flaten i hvert punkt.
Formler
Hver formel: hva den heter, hvordan den ser ut, og hva symbolene betyr.
Partiell derivert (definisjon)
Den vanlige deriverte av f når alle andre variable holdes konstante. Tilsvarende for ∂f/∂y.
Gradient
Vektoren av alle partielle deriverte. Peker i retningen f vokser raskest, og lengden er den maksimale stigningsraten.
Retningsderivert
Forutsetter at u er en enhetsvektor og at f er deriverbar i a. Gir endringsraten i retning u.
Maksimal retningsderivert
Maksimum oppnås når u = ∇f/||∇f||. Minimum (=−||∇f||) i motsatt retning.
Linearisering
Den lineære funksjonen som best approksimerer f nær (a,b). Grafen er tangentplanet til z = f(x,y).
Tangentplan
Tangentplanet til flaten z=f(x,y) i punktet (a,b,f(a,b)). Eksisterer når f er deriverbar i (a,b).
Kjerneregelen langs en kurve
Derivasjon av en sammensatt funksjon langs en parametrisert kurve r(t)=(x(t),y(t)).
Deriverbar ⇒ kontinuerlig
Implikasjonen går bare én vei. Eksistens av partielle deriverte alene er ikke nok for deriverbarhet.
Tilstrekkelig betingelse for deriverbarhet
Praktisk kriterium: hvis alle partielle deriverte er kontinuerlige er funksjonen automatisk deriverbar.
Lineær approksimasjonsfeil
Selve definisjonen av total deriverbarhet: lineariseringen er nøyaktig nok til at restleddet vokser saktere enn ||h||.
Middelverdisetningen (flere variable)
Direkte generalisering av MVT for én variabel: stigningen langs linjen fra a til b treffes av gradienten et sted underveis.
Læringsmål
Hva du skal kunne etter å ha lest kapittelet.
- 01Avgjøre om en flervariabel grense finnes ved å sammenligne tilnærmingsveier
- 02Regne gradient, partielle deriverte og retningsderivert i et konkret punkt
- 03Skrive opp lineariseringen / tangentplanet og bruke det til approksimasjon
- 04Forklare hvorfor partielle deriverte alene ikke gir deriverbarhet, og bruke C¹-kriteriet