Begreper & referanser
Alle nøkkelbegrepene, formlene og referansene fra Grunnlagsstoff, samlet på én side. Bruk denne som oppslag når du leser, øver flashcards eller tar quiz.
Begreper
Sentrale begreper fra kapittelet med korte definisjoner.
Starter fra gitte forutsetninger og viser stegvis at konklusjonen følger logisk. Pensum bruker strukturen til implikasjonen som modell.
Anta at påstanden er feil, og vis at antagelsen fører til en selvmotsigelse. Kapittelet bruker Russells paradoks som eksempel på hva som skjer når en antagelse bryter logiske regler.
I stedet for å bevise direkte viser vi . Strategien er fremhevet sammen med direkte bevis og motsigelse som grunnleggende teknikker.
Union, snitt, differanse og kartesiske produkter brukes gjennomgående for å beskrive tallmengder og strukturer.
For å bevise utsagn for alle naturlige tall viser vi både basissteget og induksjonssteget .
Den minste øvre skranken til en mengde tall — det minste tallet som er større enn eller lik alle elementene i mengden. Mengden trenger ikke selv inneholde sitt supremum.
Den største nedre skranken til en mengde tall — det motsatte av supremum. For (0,1) er infimum 0, selv om 0 ikke er med i mengden.
Et åpent intervall (a−ε, a+ε) rundt et punkt a, for en liten ε > 0. Brukes til å beskrive hva som ligger "nær" et punkt.
En mengde er åpen hvis hvert punkt i den har en omegn som ligger helt inni mengden, og lukket hvis den inneholder alle sine opphopningspunkter. [a,b] er lukket, (a,b) er åpen, [a,b) er verken eller.
En mengde som enten er endelig, eller som kan listes opp i en uendelig rekke slik at hvert element til slutt får sin egen plass i lista — altså settes i en-til-en-korrespondanse med N.
Et motsigelsesbevis for at R ikke er tellbar: anta at alle reelle tall mellom 0 og 1 lar seg liste opp, og bygg et tall som avviker fra hvert listetall i minst én desimal — det tallet kan da ikke stå på listen.
Tallet C(n,i) = n! / (i!·(n−i)!) — antall måter å velge i elementer fra en mengde med n elementer på, uten hensyn til rekkefølge.
Formler
Hver formel: hva den heter, hvordan den ser ut, og hva symbolene betyr.
Kontrapositivt bevis
Å bevise kontrapositiven er logisk ekvivalent med å bevise selve implikasjonen.
Mengdesnitt
Definisjonen brukes når vi beskriver overlapp mellom tallmengder og intervaller.
Fullstendig induksjon
Skjemaet gir strukturen for alle induksjonsbevis i pensum.
Binomialteoremet
Utvider en potens av en to-ledds-sum. Koeffisientene er nettopp binomialkoeffisientene C(n,i).
Antall delmengder
En mengde med elementer har totalt delmengder. Summerer du binomialkoeffisientene for alle , får du samme tall — hver delmengde teller enten med eller uten hvert element.
Avstand mellom punkter
Pythagoras satt på koordinater. Gir den rette linjes lengde mellom to punkter i planet.
Sirkellikning
Likningen for alle punkter (x,y) som ligger nøyaktig r unna sentrum (x0,y0).
Sum-notasjon, eksempel
-notasjonen kompakter en lang sum: bokstaven under er startverdien til indeksen, bokstaven over er sluttverdien.
Læringsmål
Hva du skal kunne etter å ha lest kapittelet.
- 01Skille mellom direkte bevis, motsigelsesbevis og kontrapositivt bevis, og velge riktig teknikk for en gitt påstand
- 02Forklare hva supremum og infimum er, og avgjøre om en mengde er åpen eller lukket
- 03Bruke Cantors diagonalargument til å forklare hvorfor R er en større uendelighet enn N, selv om begge er uendelige
- 04Gjennomføre et induksjonsbevis for en summeformel, og lese og bruke sum-notasjon (Σ)
- 05Regne ut binomialkoeffisienter og bruke binomialteoremet til å utvide (a+b)^n
- 06Sette opp likningen for en linje og en sirkel, og regne ut avstanden mellom to punkter