Vektorer

Dette kapittelet handler om hva vektorer kan gjøre sammen. To vektorer kombineres til et tall med skalarproduktet, til en ny vektor med kryssproduktet, og til et volum med trippelproduktet. Underveis bygger vi opp verktøyene for å beskrive plan og linjer i rommet, avgjøre når en samling vektorer er «overflødig», og forstå hva en matrise egentlig gjør med rommet den virker på.

Skalarprodukt og vinkel mellom vektorer

En vektor i rommet skrives som en koordinatvektor: $\vec{u}=(u_1,u_2,u_3)$, der komponentene angir hvor langt vektoren peker langs hver akse. To vektorer $\vec{u}$ og $\vec{v}$ kombineres til ett tall via skalarproduktet, ƒskalarprodukt i ℝ^n — summen av produktene av tilsvarende komponenter. Skalarproduktet er kapittelets viktigste eksempel på et indreprodukt: en regel som tar to vektorer og gir et tall, og som oppfyller de samme reglene uansett hvilket rom vektorene bor i.

Skalarproduktet henger sammen med lengde og vinkel: $\vec{u}\cdot \vec{v}=|\vec{u}||\vec{v}|\cos (\theta )$. Løser vi for $\theta$, får vi ƒvinkel mellom vektorer. Er $\vec{u}\cdot \vec{v}=0$, er $\cos (\theta )=0$ og vektorene står vinkelrett på hverandre — dette er hele grunnlaget for ortogonalitet senere i kapittelet. Eksempel: $\vec{u}=(1,2,2)$ og $\vec{v}=(2,-2,1)$ gir $\vec{u}\cdot \vec{v}=2-4+2=0$, så vektorene står vinkelrett selv om ingen av dem er null.

Et fullstendig regnestykke med formelen: la $\vec{u}=(1,1,0)$ og $\vec{v}=(1,0,0)$. Da er $\vec{u}\cdot \vec{v}=1$, $|\vec{u}|=\sqrt{2}$ og $|\vec{v}|=1$, så $\cos (\theta )=1/\sqrt{2}$ og $\theta =\arccos (1/\sqrt{2})=45^{\circ }$. Legg merke til at $\arccos$ alltid gir en vinkel mellom $0^{\circ }$ og $180^{\circ }$ — nok til å beskrive vinkelen mellom to vektorer entydig, siden den geometriske vinkelen aldri er refleks.

Skalarproduktet er symmetrisk ($\vec{u}\cdot \vec{v}=\vec{v}\cdot \vec{u}$) og distributivt over addisjon ($\vec{u}\cdot (\vec{v}+\vec{w})=\vec{u}\cdot \vec{v}+\vec{u}\cdot \vec{w}$), akkurat som vanlig multiplikasjon av tall. Lengden til en vektor er faktisk bare et spesialtilfelle: $|\vec{u}|=\sqrt{\vec{u}\cdot \vec{u}}$, fordi vinkelen mellom $\vec{u}$ og seg selv er $0$ og $\cos (0)=1$. Avstanden mellom to punkter $P$ og $Q$ er dermed lengden til differansevektoren, $|Q-P|$.

Kryssprodukt — en vektor vinkelrett på to andre

Skalarproduktet gir et tall. kryssproduktet gjør noe annet: det tar to vektorer $\vec{u}=(u_1,u_2,u_3)$ og $\vec{v}=(v_1,v_2,v_3)$ i ${\mathbb{R}}^3$ og gir en ny *vektor*, ƒkryssprodukt. Determinant-oppsettet er en huskeregel — første rad er basisvektorene ${\vec{e}}_1,{\vec{e}}_2,{\vec{e}}_3$, de to neste er $\vec{u}$ og $\vec{v}$.

Resultatet $\vec{u}\times \vec{v}$ står vinkelrett på både $\vec{u}$ og $\vec{v}$, med retning gitt av høyrehåndsregelen. Eksempel: $\vec{u}=(0,1,0)$ og $\vec{v}=(-1,0,0)$ gir $\vec{u}\times \vec{v}=(1\cdot 0-0\cdot 0,0\cdot (-1)-0\cdot 0,0\cdot 0-1\cdot (-1))=(0,0,1)$ — vinkelrett på $xy$-planet som forventet, siden både $\vec{u}$ og $\vec{v}$ ligger i det.

Bytter du rekkefølgen på $\vec{u}$ og $\vec{v}$, snur du fortegnet: $\vec{v}\times \vec{u}=-(\vec{u}\times \vec{v})$. Kryssproduktet er altså ikke kommutativt slik skalarproduktet er. Og en vektor krysset med seg selv gir alltid nullvektoren, $\vec{u}\times \vec{u}=\vec{0}$ — naturlig nok, siden ingen vektor kan stå vinkelrett på seg selv med mindre den er null.

Lengden $|\vec{u}\times \vec{v}|$ er arealet av parallellogrammet $\vec{u}$ og $\vec{v}$ spenner ut. For to vektorer i planet, $(a,b,0)$ og $(c,d,0)$ utvidet med en null-komponent, gir kryssproduktet $(0,0,ad-bc)$, og $|ad-bc|$ er nettopp arealet — samme tall som $\left|\det \left(\begin{array}{cc}a& c\\ b& d\end{array}\right)\right|$. Konkret: $(3,1)$ og $(1,2)$ gir $ad-bc=3\cdot 2-1\cdot 1=5$, så parallellogrammet de spenner ut har areal $5$.

Kryssproduktet er også det raskeste verktøyet for å finne en normalvektor til et plan når du kjenner to vektorer som ligger *i* planet, i stedet for normalen direkte: normalvektoren er ganske enkelt kryssproduktet av de to. Ligger $\vec{u}=(1,0,0)$ og $\vec{v}=(0,1,0)$ begge i et plan, er $\vec{N}=\vec{u}\times \vec{v}=(0,0,1)$ en gyldig normalvektor for det planet — nøyaktig koblingen vi trenger i neste avsnitt.

Plan og linjer i rommet

Kryssproduktet dukker raskt opp igjen når vi skal beskrive flater og rette linjer i ${\mathbb{R}}^3$. Et plan i rommet er bestemt av et punkt og en normalvektor $\vec{N}=(a,b,c)$ — en vektor vinkelrett på hele planet. Likningen er ƒplanlikning. Eksempel: planet gjennom $(1,0,-2)$ med normalvektor $(2,-1,3)$ blir $2(x-1)-(y-0)+3(z+2)=0$, altså $2x-y+3z+4=0$.

For å sjekke om et punkt ligger i planet, setter du det bare inn: punktet $(2,1,-3)$ gir $2(2-1)-(1-0)+3(-3+2)=2-1-3=-2\ne 0$, så punktet ligger *ikke* i planet fra eksempelet over.

En rett linje i rommet trenger derimot ikke en normalvektor, men en *retningsvektor* $\vec{d}$ den følger: ƒlinjas parameterfremstilling. Linjen gjennom $(0,0,0)$ med retning $(1,2,-1)$ er $(x,y,z)=(0,0,0)+t(1,2,-1)$; for $t=3$ gir det punktet $(3,6,-3)$. Kjenner du to punkter linjen skal gå gjennom i stedet for punkt og retning direkte, finner du retningsvektoren ved å trekke dem fra hverandre: linjen gjennom $P_1=(1,0,0)$ og $P_2=(0,1,2)$ har retning $\vec{d}=P_2-P_1=(-1,1,2)$, og parameterfremstillingen $(x,y,z)=(1,0,0)+t(-1,1,2)$.

To plan kan ligge parallelt (normalvektorene er proporsjonale — enten møtes de aldri, eller de er identiske), eller de skjærer hverandre i akkurat én linje. Den linja har en retningsvektor gitt av kryssproduktet mellom de to planenes normalvektorer, ${\vec{N}}_1\times {\vec{N}}_2$ — fordi den må stå vinkelrett på begge normalene for å ligge i begge planene samtidig.

Trippelprodukt — volum av et parallellepiped

Kombinerer vi skalarprodukt og kryssprodukt, får vi trippelproduktet $\vec{a}\cdot (\vec{b}\times \vec{c})$, ƒtrippelprodukt. Legg merke til at dette er nøyaktig samme determinant-idé som i planlikningen, bare med tre fulle vektorer som rader i stedet for én normalvektor.

Trippelproduktet måler volum slik kryssproduktet måler areal: $|\vec{a}\cdot (\vec{b}\times \vec{c})|$ er volumet av parallellepipedet (den skjeve “boksen”) som $\vec{a}$, $\vec{b}$ og $\vec{c}$ spenner ut. Eksempel: $\vec{a}=(2,0,0)$, $\vec{b}=(0,3,0)$, $\vec{c}=(1,1,4)$ gir determinanten $2\cdot (3\cdot 4-0\cdot 1)-0\cdot (0\cdot 4-0\cdot 1)+0\cdot (0\cdot 1-3\cdot 1)=2\cdot 12=24$, samme volum som en rett boks på $2\times 3\times 4$ — å skyve toppflaten sidelengs med $\vec{c}$ endrer ikke volumet.

Er trippelproduktet null, ligger de tre vektorene i samme plan — parallellepipedet er flatt og har volum null. Rekkefølgen på $\vec{a}$, $\vec{b}$ og $\vec{c}$ kan byttes syklisk uten at verdien endres, $\vec{a}\cdot (\vec{b}\times \vec{c})=\vec{b}\cdot (\vec{c}\times \vec{a})=\vec{c}\cdot (\vec{a}\times \vec{b})$, men et enkelt vektorbytte snur fortegnet, slik som for kryssproduktet. Sammenhengen med vinkelrett-egenskapen holder også: $\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c})$ står alltid vinkelrett på $\vec{a}$, og prøver du å regne ut $\vec{a}\cdot (\vec{a}\times \vec{b})$ direkte, får du alltid $0$, fordi $\vec{a}\times \vec{b}$ i utgangspunktet er konstruert til å stå vinkelrett på $\vec{a}$.

Lineær uavhengighet

Et sett vektorer ${\vec{v}}_1,\dots ,{\vec{v}}_n$ er lineært uavhengige når den eneste måten å kombinere dem til nullvektoren på er å sette alle koeffisientene til null: $a_1{\vec{v}}_1+\cdots +a_n{\vec{v}}_n=\vec{0}$ medfører $a_1=\cdots =a_n=0$. lineær uavhengighet handler altså om hvorvidt vektorene er «overflødige» eller ikke — om én av dem kan skrives som en kombinasjon av de andre.

To vektorer i ${\mathbb{R}}^3$ kan godt være lineært uavhengige — for eksempel $(1,0,0)$ og $(0,1,0)$, som spenner ut $xy$-planet uten at noen av dem er et multiplum av den andre. Fire vektorer i ${\mathbb{R}}^3$ kan derimot *aldri* være lineært uavhengige. Rommet har bare tre dimensjoner å bevege seg i, så en fjerde vektor må nødvendigvis kunne skrives som en kombinasjon av (høyst) tre andre — det er ikke plass til en fjerde uavhengig retning.

For $n$ vektorer i ${\mathbb{R}}^n$ finnes det en rask test: sett dem som rader (eller søyler) i en $n\times n$-matrise og regn ut determinanten. Er determinanten ulik null, er vektorene lineært uavhengige; er den null, er de avhengige. For tre vektorer i ${\mathbb{R}}^3$ er dette nøyaktig det samme regnestykket som trippelproduktet — er $\vec{a}\cdot (\vec{b}\times \vec{c})\ne 0$, utgjør $\vec{a}$, $\vec{b}$ og $\vec{c}$ en lineært uavhengig basis for rommet.

Lineærtransformasjoner: kjerne, bilde og rang

En matrise $A$ definerer en lineærtransformasjon $T_A:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$ ved $T_A(x)=Ax$. To underrom knyttet til $A$ fanger opp hva transformasjonen gjør. kjerne (nullrom)en, $\mathrm{Nul}A=\{x:Ax=0\}$, er alt som sendes til nullvektoren. Den er alltid et underrom: er $x$ og $y$ begge løsninger av $Ax=0$ og $Ay=0$, så er $A(x+y)=Ax+Ay=0+0=0$, og for en skalar $a$ er $A(ax)=aAx=a\cdot 0=0$ — summer og skalarmultipla av løsninger er fortsatt løsninger.

bilde (kolonnerom)et $\mathrm{Col}A$ er derimot alt $A$ *kan produsere*: span av kolonnevektorene i $A$, altså alle mulige verdier $Ax$ kan anta. Etter Gauss-eliminasjon til redusert trappeform finner vi en basis for $\mathrm{Col}A$ direkte — søylene i den *opprinnelige* matrisen $A$ som svarer til pivot-søylene i trappeformen. Antall pivoter er rangen til $A$, $\mathrm{rang}(A)=\dim (\mathrm{Col}A)$. Rangen sier med andre ord hvor mange lineært uavhengige retninger kolonnene i $A$ faktisk dekker, uansett hvor mange kolonner matrisen har.

Et konkret eksempel: $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 4& 6\end{array}\right)$. Rad 2 er 2 ganger rad 1, så Gauss-eliminasjon ($R_2\leftarrow R_2-2R_1$) gir trappeformen $\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$ — én eneste pivot, i første søyle. Dermed er $\mathrm{rang}(A)=1$, og $\mathrm{Col}A$ er den ene dimensjonen $\mathrm{span}\{(1,2)\}$ utspenner (den opprinnelige første søylen). $\mathrm{Nul}A$ løses fra $1\cdot x_1+2\cdot x_2+3\cdot x_3=0$ med $x_2$ og $x_3$ som frie variabler: basisen for $\mathrm{Nul}A$ blir $\{(-2,1,0),(-3,0,1)\}$, begge to lett kontrollert ved innsetting i $A$.

Legg merke til at $\mathrm{rang}(A)=1$ og at $\mathrm{Nul}A$ har dimensjon $2$ (to frie variabler), og at $1+2=3$ er nettopp antall søyler i $A$. Det er ingen tilfeldighet: hver søyle i $A$ er enten en pivot-søyle (bidrar til $\mathrm{Col}A$) eller en fri søyle (bidrar til $\mathrm{Nul}A$), så de to dimensjonene summerer alltid til antall søyler.