Differensialligninger

Initialverdiproblemet

En differensiallikning kobler en funksjon til dens egen deriverte, for eksempel y' = 2y. Slike likninger har typisk uendelig mange løsninger — for enhver konstant C tilfredsstiller y = Ce^{2t} likningen. For å plukke ut nøyaktig én løsning blant alle disse, oppgir vi en starttilstand: et initialverdiproblem kombinerer selve likningen med et krav y(t0) = y0. Eksempel: y' = 2y med y(0) = 3 har generell løsning y = Ce^{2t}, og initialkravet fastsetter C = 3 — dermed er y = 3e^{2t} den eneste løsningen som passer.

Andreordens likninger trenger to initialbetingelser for å låse begge de frie konstantene — typisk y(t0) og y'(t0), altså både startverdi og «startfart». Uten begge deler har du bare den generelle løsningen med to ukjente konstanter igjen; med begge blir løsningen entydig, akkurat som i førsteordens-tilfellet.

Separable likninger og lineær førsteordens

Den enkleste klassen å løse er separable ligninger: likninger som kan skrives på formen y' = g(t)h(y), der høyresiden splitter i en faktor som bare avhenger av t og en som bare avhenger av y. Da flytter du alt med y til venstre og alt med t til høyre, og integrerer hver side for seg: ƒseparasjon av variable. Eksempel: y' = ty gir dy/y = t dt, som integreres til ln|y| = t²/2 + C, altså y = Ae^{t²/2}.

Ikke alle førsteordens likninger lar seg separere. En lineær førsteordens ligning har formen y' + p(t)y = q(t) — y og den deriverte opptrer bare i første potens, men er ellers viklet sammen med t. Triksen er å multiplisere hele likningen med en ƒintegrerende faktor μ(t) = e^{∫p(t)dt}, valgt nettopp slik at venstresiden blir den deriverte av produktet μ(t)y. Da gjenstår bare å integrere høyresiden og dele på μ(t) igjen. Eksempel: y' + 2y = 6 har p(t) = 2, konstant, så μ(t) = e^{2t}. Multipliser gjennom: (e^{2t}y)' = 6e^{2t}. Integrer begge sider: e^{2t}y = 3e^{2t} + C, altså y = 3 + Ce^{-2t}.

Andreordens likninger med konstante koeffisienter

En andreordens ligning med konstante koeffisienter har formen y'' + ay' + by = 0. Løsningsmetoden bygger på et enkelt grep: gjett at løsningen har formen y = e^{rt}, og sett den inn. Da er y' = re^{rt} og y'' = r²e^{rt}, så likningen blir r²e^{rt} + are^{rt} + be^{rt} = e^{rt}(r² + ar + b) = 0. Siden e^{rt} aldri er null, uansett hva r og t er, må parentesen være null — og det gir ƒkarakteristisk likning. Gjetningen løser altså den opprinnelige likningen nøyaktig når r er en rot i denne annengradslikningen.

Hvilken løsning du ender opp med avhenger av diskriminanten til karakteristisk likning. To reelle røtter r1 ≠ r2 gir y = Ae^{r1t} + Be^{r2t}. Én dobbel rot r gir y = (A + Bt)e^{rt} — merk t-faktoren. At dette faktisk gir to lineært uavhengige løsninger kan du bekrefte direkte: sett y = Bte^{rt} inn i likningen og se at den også løser den; sammen spenner e^{rt} og te^{rt} ut alle løsninger, akkurat som to reelle røtter ville gjort.

Det tredje tilfellet er mest interessant: har karakteristisk likning komplekse røtter u ± iv, blir løsningen en svingende løsning, gitt ved ƒsvingende løsning (komplekse røtter). Utledningen bruker Eulers formel: de komplekse løsningene e^{(u+iv)t} og e^{(u-iv)t} kan skrives om ved hjelp av e^{ivt} = cos(vt) + i·sin(vt), og kombineres til to reelle løsninger e^{ut}cos(vt) og e^{ut}sin(vt). Begge løser likningen, og enhver lineærkombinasjon av dem gjør det også — det er opphavet til formelen. Eksempel: y'' − 2y' + 3y = 0 har karakteristisk likning r² − 2r + 3 = 0, med røtter r = 1 ± i√2 (diskriminant 4 − 12 = −8). Løsningen blir y = Ae^t cos(√2 t) + Be^t sin(√2 t) — en svingning med voksende amplitude, fordi realdelen u = 1 er positiv. Fortegnet på u avgjør stabilitet: er u negativ, dør svingningen ut mot null uansett startverdier; er u positiv, vokser amplituden ubegrenset; er u null, svinger løsningen med konstant amplitude for alltid. Spesialtilfellet u = 0 gir en ren, udempet svingning: y'' + 4y = 0 har røtter r = ±2i (u = 0, v = 2), og løsningen y = A cos(2t) + B sin(2t) svinger for alltid med konstant amplitude — modellen for en ideell fjær uten friksjon. Denne typen løsning dukker opp overalt hvor noe svinger med demping eller forsterkning — spenning i en elektrisk krets, eller en fjær med friksjon.

Partikulærløsning: ubestemte koeffisienter

Homogene likninger beskriver systemer overlatt til seg selv. I praksis er de fleste systemer utsatt for en ytre påvirkning — en pumpe som tilfører væske med konstant rate, en kraft som drar i en fjær — og det er nettopp dette en høyreside fanger opp: y'' + ay' + by = f(t). Denne inhomogene likningen har generell løsning ƒgenerell løsning, inhomogen likning, der y_h er den homogene løsningen fra forrige avsnitt (med to frie konstanter A og B), og y_s er én eneste partikulærløsning — hvilken som helst funksjon som selv tilfredsstiller hele likningen med f(t) på høyre side. Grunnen til at summen fungerer: sett y_h + y_s inn i venstresiden. Fordi likningen er lineær, fordeler den deriverte seg leddvis, slik at y_h-bidraget blir 0 (den løser jo den homogene likningen) og y_s-bidraget blir f(t) — til sammen gir det nøyaktig f(t), som er akkurat det likningen krever.

Metoden ubestemte koeffisienter går ut på å gjette formen på y_s basert på formen til f(t), og deretter bestemme de ukjente koeffisientene ved innsetting. Er f(t) en konstant K, gjetter du y_s lik en konstant. Er f(t) et polynom, for eksempel f(t) = 3t, gjetter du et fullt polynom av samme grad — y_s = At + B, ikke bare det ledende leddet, siden deriverte av lavere-gradsledd kan bidra med konstantledd som må kanselleres mot resten. Er f(t) = e^{kt}, gjetter du y_s = Ae^{kt} — men bare hvis k IKKE selv er en rot i karakteristisk likning. Er f(t) en sum av flere typer, for eksempel en konstant pluss en eksponentialfunksjon, løser du hver del for seg og legger sammen partikulærløsningene — superposisjonsprinsippet, som følger direkte av at likningen er lineær.

Her ligger den klassiske fallgruven: hvis k ER en rot, kollapser gjetningen Ae^{kt} inn i den homogene løsningen. Sett den inn, og venstresiden blir identisk null uansett hva A er, fordi e^{kt} allerede løser den homogene likningen — du ender med en likning uten A i det hele tatt, og kan ikke bestemme koeffisienten. Løsningen er å multiplisere gjetningen med t: er k en enkel rot, gjett y_s = Ate^{kt}; er k en dobbel rot, gjett y_s = At²e^{kt}. Den ekstra t-faktoren bryter symmetrien med y_h akkurat nok til at innsettingen gir en løsbar likning for A.

Se hva som skjer når høyresiden treffer en rot direkte: y'' − y = e^t. Karakteristisk likning er r² − 1 = 0, med røtter r = 1 og r = −1, så y_h = Ae^t + Be^{-t}. Her er f(t) = e^t, altså k = 1 — som ER en rot. Gjetningen y_s = Ae^t ville kollapset inn i y_h og gitt 0 = e^t, en umulighet. I stedet gjetter vi y_s = Ate^t. Deriverer du to ganger og setter inn, finner du A = 1/2, så y_s = (t/2)e^t, og generell løsning blir y = Ae^t + Be^{-t} + (t/2)e^t.

Et enklere eksempel uten resonans: y'' + y' − 2y = K, med K en konstant. Karakteristisk likning er r² + r − 2 = 0, som faktoriserer til (r + 2)(r − 1) = 0, med røtter r = 1 og r = −2. Homogen løsning: y_h = Ae^t + Be^{-2t}. Siden f(t) = K er en konstant, og 0 ikke er en rot i karakteristisk likning, gjetter vi at y_s selv er en konstant, kall den A0. Innsatt: y_s' = 0 og y_s'' = 0, så likningen blir 0 + 0 − 2A0 = K, altså A0 = −K/2. Generell løsning: y = Ae^t + Be^{-2t} − K/2.

Anvendelser: logistisk vekst og terminalfart

Differensiallikninger modellerer prosesser der endringsraten avhenger av tilstanden selv. Et klassisk eksempel er befolkningsvekst med begrenset kapasitet K, styrt av likningen y' = ry(1 − y/K): veksten er rask når bestanden er liten, men flater ut når den nærmer seg K, fordi høyresiden går mot null der. Løsningen er ƒlogistisk vekst — en S-formet kurve som starter nesten eksponentielt og bøyer av mot den vannrette asymptoten y = K, en stabil likevekt som bestanden trekkes mot uansett hvor den startet, så lenge den er positiv.

Et annet klassisk eksempel er et objekt i fritt fall med luftmotstand proporsjonal med farten: mv' = mg − kv, der m er massen, g er tyngdeakselerasjonen og k er luftmotstandskonstanten. Dette er en lineær førsteordens likning i v(t), løst med akkurat samme integrerende-faktor-teknikk som over. Løsningen er ƒterminalfart. Legg merke til hva som skjer når t → ∞: eksponentialleddet e^{-(k/m)t} går mot null, uansett hvor stor eller liten startfarten var, og farten konvergerer mot mg/k — objektets terminalfart, den konstante hastigheten luftmotstanden til slutt bremser fallet ned til, når tyngdekraften og luftmotstanden balanserer nøyaktig. Jo før eksponentialleddet dør ut — stor k, liten m — desto raskere når objektet terminalfarten. Et tungt objekt med lite luftmotstand bruker lenger tid på å stabilisere seg, og ender dessuten på en høyere terminalfart.

Talleksempel: sett m = 1 kg og k = 0,08 (per kg), med g ≈ 9,8 m/s². Terminalfarten blir mg/k = 9,8/0,08 = 122,5 m/s — samme grenseverdi enten objektet slippes i ro eller kastes nedover med høy startfart. Det er nettopp dette som gjør terminalfarten stabil i praksis: uansett initialbetingelse trekkes løsningen mot samme likevekt etter hvert som t vokser. Etter tre «tidskonstanter» m/k har farten nådd over 95 % av terminalfarten — for tallene over er m/k = 1/0,08 = 12,5 s, så etter drøyt 37 sekunder er fallet praktisk talt stabilisert.