Derivasjon

Derivasjon: fra definisjon til kjederegel (kort resymé)

Den deriverte til $f$ i punktet $x=a$ er definert som en grenseverdi, ƒderivasjon som grense — stigningstallet til sekantlinjen mellom to punkter på grafen, i det de to punktene glir sammen. Geometrisk er $f^{\prime }(a)$ stigningstallet til tangentlinjen i punktet $(a,f(a))$.

To regneregler går igjen overalt i resten av kapittelet: ƒproduktregelen for produktet av to funksjoner, og kjede regelen for sammensatte funksjoner, ƒkjederegelen. Skal du derivere $\sin (x^2)$, er den ytre funksjonen $\sin (u)$ og den indre $u=x^2$, så $(\sin (x^2){)}^{\prime }=\cos (x^2)\cdot 2x$ — ytre derivert ganger indre derivert. Denne kombinasjonen dukker opp igjen senere, blant annet under relaterte rater.

Rolles teorem: et nullpunkt for den deriverte

rolles teorem sier: hvis $f$ er kontinuerlig på det lukkede intervallet $[a,b]$, deriverbar på det åpne intervallet $(a,b)$, og $f(a)=f(b)$, så finnes det minst ett punkt $c$ mellom $a$ og $b$ der $f^{\prime }(c)=0$ — ƒrolles teorem.

Intuisjonen er enkel. Grafen starter og slutter i samme høyde. Et sted mellom start og slutt må den enten snu (et lokalt maksimum eller minimum) eller ligge helt flat, og i begge tilfeller er tangenten der vannrett. Eksempel: $f(x)=x^2-4x+3$ på $[1,3]$. Her er $f(1)=0$ og $f(3)=0$, så vilkårene er oppfylt. $f^{\prime }(x)=2x-4$, som er null nøyaktig når $x=2$ — midt i intervallet, slik teoremet lover.

Rolles teorem brukes sjelden direkte i praksis, men er nøkkelen til beviset for det neste resultatet. Legg merke til at alle tre vilkårene trengs: dropper vi kontinuitet eller deriverbarhet, eller lar vi $f(a)\ne f(b)$, kan konklusjonen svikte. For eksempel har $f(x)=|x|$ på $[-1,1]$ $f(-1)=f(1)=1$, men $f$ er ikke deriverbar i $x=0$ — og det finnes da heller ikke noe punkt der $f^{\prime }(c)=0$.

Middelverdisetningen: gjennomsnittsfarten finnes et sted

middelverdisetningen (også kalt sekantsetningen) generaliserer Rolles teorem til funksjoner der $f(a)$ og $f(b)$ ikke nødvendigvis er like. Er $f$ kontinuerlig på $[a,b]$ og deriverbar på $(a,b)$, finnes det minst ett punkt $c$ i $(a,b)$ slik at ƒmiddelverdisetningen.

Venstre side er den momentane endringsraten i $c$, høyre side er gjennomsnittsraten over hele intervallet — stigningstallet til sekanten fra $(a,f(a))$ til $(b,f(b))$. Setningen garanterer at den momentane raten et sted må treffe gjennomsnittet nøyaktig. Kjører du en bilstrekning på 100 km på nøyaktig én time, er gjennomsnittsfarten 100 km/t, og setningen garanterer at speedometeret ditt viste nøyaktig 100 km/t i minst ett øyeblikk underveis, selv om du bremset og akselererte hele veien.

Beviset bruker Rolles teorem på hjelpefunksjonen $g(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\cdot (x-a)$, konstruert nettopp slik at $g(a)=g(b)=0$.

Tallfestet eksempel: la $f(x)=x^2$ på $[0,4]$. Gjennomsnittsraten er $\frac{f(4)-f(0)}{4-0}=\frac{16-0}{4}=4$. Siden $f^{\prime }(x)=2x$, må vi løse $2c=4$, som gir $c=2$ — midt i intervallet, og innenfor $(0,4)$ slik setningen krever. Middelverdisetningen er også grunnlaget for en nyttig konsekvens: er $f^{\prime }(x)=0$ overalt på et intervall, må $f$ være konstant der, og er $f^{\prime }(x)>0$ overalt, må $f$ være strengt voksende. Det er denne koblingen mellom fortegnet til $f^{\prime }$ og monotonien til $f$ som brukes gjennomgående i resten av kapittelet.

Ekstremalpunkter og optimalisering

Et kritisk punkt er et punkt $x=c$ der $f^{\prime }(c)=0$ eller $f^{\prime }(c)$ ikke eksisterer. Ethvert lokalt ekstremalpunkt for en funksjon som er deriverbar i nærheten, må være et kritisk punkt — tangenten er vannrett i toppen av en bakke eller bunnen av en dal. Det motsatte gjelder ikke: $x=0$ er et kritisk punkt for $f(x)=x^3$, men verken maksimum eller minimum.

For å avgjøre hva slags kritisk punkt du har, se på fortegnet til $f^{\prime }$ på hver side av $c$. Skifter $f^{\prime }$ fra positiv til negativ, er $c$ et lokalt maksimum. Skifter $f^{\prime }$ fra negativ til positiv, er $c$ et lokalt minimum. Skifter $f^{\prime }$ ikke fortegn, er $c$ verken eller — som for $x^3$.

Denne fortegnsanalysen er selve motoren i optimaliseringsoppgaver. Et typisk eksempel: du har 40 meter gjerde og skal inngjerde et rektangulært område inntil en husvegg, slik at bare tre sider trenger gjerde (veggen utgjør den fjerde). La $x$ være bredden på siden parallelt med veggen, og $y$ lengden på hver av de to sidene vinkelrett på veggen. Gjerdet dekker to $y$-sider og én $x$-side: $2y+x=40$, altså $y=20-x/2$.

Arealet som funksjon av $x$ blir $A(x)=x\cdot y=x(20-x/2)=20x-x^2/2$. Deriverer vi, får vi $A^{\prime }(x)=20-x$. Setter vi $A^{\prime }(x)=0$, får vi $x=20$ som eneste kritiske punkt (og $x$ må ligge i $(0,40)$ for at $y$ skal bli positiv). For $x<20$ er $A^{\prime }(x)>0$, så arealet vokser; for $x>20$ er $A^{\prime }(x)<0$, så arealet avtar. Fortegnsskiftet fra pluss til minus bekrefter at $x=20$ gir et maksimum. Da blir $y=20-10=10$, og maksimalt areal er $A(20)=20\cdot 10=200$ kvadratmeter. Metoden er alltid den samme: sett opp en funksjon for størrelsen du vil optimere, uttrykk den ved én variabel, deriver, finn de kritiske punktene, og sjekk fortegn på hver side.

Én ting til er verdt å huske når $x$ er begrenset til et lukket intervall $[p,q]$: det globale maksimumet eller minimumet trenger ikke ligge i et kritisk punkt i det hele tatt — det kan også ligge i et av endepunktene $p$ eller $q$, der den deriverte gjerne ikke er null. Riktig fremgangsmåte er derfor å regne ut funksjonsverdien i alle kritiske punkter innenfor intervallet og i begge endepunktene, og sammenligne. I gjerde-eksempelet var det ikke nødvendig fordi fortegnsskiftet i $A^{\prime }$ alene beviste at $x=20$ er et globalt maksimum på hele det åpne intervallet, men i mange oppgaver — for eksempel når arealfunksjonen er begrenset av et fysisk materialestykke med fast lengde — er endepunktssjekken det som avgjør svaret.

Relaterte rater

I mange praktiske situasjoner er to størrelser knyttet sammen av en likning, og begge endrer seg med tiden. relaterte rater er teknikken der du deriverer hele likningen med hensyn på tid $t$ — med kjederegelen på hvert ledd — for å finne hvordan endringsraten til den ene størrelsen henger sammen med endringsraten til den andre.

Eksempel: en sirkulær oljeflekk på havet vokser slik at arealet øker med 3 m² per minutt. Hvor fort vokser radien i det øyeblikket radien er 2 meter? Sammenhengen mellom areal og radius er $A=\pi r^2$. Deriverer vi begge sider med hensyn på $t$ — $r$ er selv en funksjon av $t$, så kjederegelen gir $\frac{d(r^2)}{dt}=2r\cdot \frac{dr}{dt}$ — får vi $\frac{dA}{dt}=2\pi r\cdot \frac{dr}{dt}$. Vi vet $\frac{dA}{dt}=3$ og $r=2$, så $3=2\pi \cdot 2\cdot \frac{dr}{dt}$, altså $\frac{dr}{dt}=\frac{3}{4\pi }\approx 0,24$ meter per minutt. Legg merke til at vi aldri løste for $r$ som funksjon av $t$ eksplisitt — vi trengte bare likningen som knytter dem sammen, deriverte den, og satte inn de kjente tallene til slutt.

Et annet klassisk eksempel: en 5 meter lang stige står inntil en vegg. Bunnen av stigen trekkes unna veggen med en fart på 0,5 m/s. Hvor fort synker toppen av stigen i det øyeblikket bunnen er 3 meter fra veggen? Her er $x$ avstanden fra veggen til bunnen, $y$ høyden toppen befinner seg på, og Pytagoras gir sammenhengen $x^2+y^2=25$. Deriverer vi med hensyn på $t$: $2x\cdot \frac{dx}{dt}+2y\cdot \frac{dy}{dt}=0$. Når $x=3$, gir $x^2+y^2=25$ at $y=4$. Setter vi inn $x=3$, $y=4$ og $\frac{dx}{dt}=0,5$, får vi $2\cdot 3\cdot 0,5+2\cdot 4\cdot \frac{dy}{dt}=0$, altså $\frac{dy}{dt}=-3/8=-0,375$ m/s. Minustegnet forteller at toppen beveger seg nedover — akkurat som forventet når bunnen trekkes utover.

L'Hôpitals regel

Grenser som gir $0/0$ eller $\infty /\infty$ ved direkte innsetting kalles ubestemte former, og lar seg ikke lese av direkte. l'hôpitals regel løser dette elegant: er $f$ og $g$ deriverbare nær $a$, $g^{\prime }(x)\ne 0$ nær $a$ (unntatt eventuelt i $a$ selv), og gir $\lim f(x)/g(x)$ formen $0/0$ eller $\infty /\infty$ når $x\to a$, så er ƒl'hôpitals regel, forutsatt at grensen på høyre side eksisterer.

Klassisk eksempel: ${\lim }_{x\to 0}\sin (x)/x$. Setter vi inn $x=0$ direkte, får vi $0/0$ — ubestemt. Regelen sier vi kan derivere teller og nevner hver for seg, ikke som en brøk: $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$ og $(x{)}^{\prime }=1$, så grensen blir ${\lim }_{x\to 0}\cos (x)/1=\cos (0)=1$. Legg merke til at vi ikke bruker kvotientregelen for derivasjon her — vi deriverer teller og nevner uavhengig av hverandre, og tar grensen av den nye brøken.

Regelen kan brukes flere ganger etter hverandre dersom resultatet fortsatt er $0/0$ eller $\infty /\infty$. For eksempel er ${\lim }_{x\to \infty }\ln (x)/x$ av typen $\infty /\infty$: deriver teller og nevner hver for seg, $(\ln x{)}^{\prime }=1/x$ og $(x{)}^{\prime }=1$, og grensen blir ${\lim }_{x\to \infty }(1/x)/1={\lim }_{x\to \infty }1/x=0$. Konklusjonen — at $\ln (x)$ vokser saktere enn $x$ uansett hvor langt ut vi går — er selve grunnen til at logaritmiske ledd nesten alltid kan neglisjeres mot polynomledd i grenser mot uendelig.

Regelen dekker også andre ubestemte former — $0\cdot \infty$, $\infty -\infty$, $1^{\infty }$, $0^0$ og ${\infty }^0$ — men da må uttrykket først skrives om til en brøk, for eksempel ved å ta logaritmen eller ved å sette $f\cdot g=f/(1/g)$, før regelen kan brukes direkte. Et typisk $0\cdot \infty$-tilfelle er ${\lim }_{x\to 0^{+}}x\cdot \ln (x)$: skriv om til $x\cdot \ln (x)=\ln (x)/(1/x)$, som gir formen $\infty /\infty$ (nevneren $1/x$ går mot $\infty$ når $x\to 0^{+}$), og bruk regelen derfra.

Krumning og kurvetegning

Mens $f^{\prime }$ forteller om funksjonen vokser eller avtar, forteller andrederiverte $f^{\prime \prime }$ om krumning — hvor fort selve stigningstallet endrer seg, altså hvordan grafens retning svinger. Er $f^{\prime \prime }(x)>0$ på et intervall, krummer grafen oppover (konveks); er $f^{\prime \prime }(x)<0$, krummer den nedover (konkav). Et punkt der krumningen skifter fortegn kalles et vendepunkt.

Systematisk kurvetegning kombinerer alt fra kapittelet: finn definisjonsområdet og eventuelle nullpunkter, undersøk asymptoter (vertikale der nevneren blir null, horisontale via grenseverdier når $x\to \pm \infty$), bruk fortegnet til $f^{\prime }$ til å finne hvor grafen vokser og avtar, og bruk fortegnet til $f^{\prime \prime }$ til å finne konkavitet og vendepunkter. Sammen gir dette et presist bilde av grafen uten å måtte plotte hundrevis av punkter.

Eksempel: $f(x)=x^3-3x$. Den deriverte er $f^{\prime }(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$, som er null i $x=-1$ og $x=1$. Fortegnsanalyse gir at $f^{\prime }$ er positiv for $x<-1$, negativ mellom $-1$ og $1$, og positiv igjen for $x>1$ — så $x=-1$ er et lokalt maksimum og $x=1$ et lokalt minimum. Andrederiverte er $f^{\prime \prime }(x)=6x$, som er null i $x=0$: negativ for $x<0$ (konkav) og positiv for $x>0$ (konveks), så $x=0$ er et vendepunkt. Legg merke til at vendepunktet ikke trenger å falle sammen med noen av ekstremalpunktene — her ligger det midt mellom dem, i overgangen fra avtakende til enda mer avtakende og tilbake til voksende krumningsretning.

Hyperbolske funksjoner

hyperbolske funksjoner er bygget direkte fra eksponentialfunksjonen: $\cosh (x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$ og $\sinh (x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$, og $\tanh (x)=\sinh (x)/\cosh (x)$. Navnene minner om cosinus og sinus fordi de oppfører seg påfallende likt — men det er hyperbelen $x^2-y^2=1$ de parametriserer, ikke sirkelen.

Derivasjonsreglene er nesten identiske med de trigonometriske, uten fortegnsbytte: ƒderivasjon av cosh og sinh, og ƒderivasjon av tanh. Legg merke til at $(\sinh x{)}^{\prime }=\cosh x$ uten minustegn — det er nettopp fraværet av minustegnet som skiller de hyperbolske funksjonene fra sine trigonometriske søsken, der $(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$. Identiteten ƒhyperbolsk identitet er det hyperbolske motstykket til ${\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x=1$.

De inverse hyperbolske funksjonene finnes også, og kan skrives med logaritmer. For eksempel er $\mathrm{arsinh}(x)=\ln (x+\sqrt{x^2+1})$, med derivert $1/\sqrt{x^2+1}$ — nyttig blant annet ved visse substitusjoner i integrasjon. Hyperbolske funksjoner er ikke bare et algebraisk kuriosum: en kjetting eller kabel som henger fritt mellom to opphengspunkter, formes nøyaktig som grafen til $\cosh (x)$, skalert riktig — kurven kalles derfor en kjedelinje (catenary).

Newtons metode

Noen likninger $f(x)=0$ lar seg ikke løse eksakt med algebra. newtons metode finner en tilnærmet løsning numerisk: start med en gjetning $x_0$ nær nullpunktet, og iterer ƒnewtons metode. Geometrisk følger du tangentlinjen i $(x_n,f(x_n))$ ned til den krysser $x$-aksen, og bruker krysningspunktet som neste gjetning.

Eksempel: finn $\sqrt{2}$ ved å løse $f(x)=x^2-2=0$, med $f^{\prime }(x)=2x$. Start i $x_0=1,5$. Iterasjonen gir $x_1=1,5-\frac{1,5^2-2}{2\cdot 1,5}=1,5-0,25/3\approx 1,4167$. Ett steg til: $x_2=1,4167-\frac{1,4167^2-2}{2\cdot 1,4167}\approx 1,4167-0,00694/2,8334\approx 1,41422$. Allerede etter to iterasjoner stemmer svaret med $\sqrt{2}\approx 1,41421$ på fire desimaler — metoden konvergerer svært raskt (kvadratisk) når startgjetningen er god og $f^{\prime }(x)$ ikke er null nær roten.

Metoden kan svikte: en dårlig startgjetning kan sende iterasjonen langt av gårde, og er $f^{\prime }(x_n)$ nær null underveis, blir neste steg enormt og upålitelig — geometrisk fordi en nesten vannrett tangent krysser $x$-aksen langt unna. Likevel er Newtons metode blant de mest brukte numeriske verktøyene i praksis: kalkulatorer og datamaskiner bruker varianter av den til å beregne kvadratrøtter og løse likninger det ikke finnes en lukket formel for, nettopp fordi den vanligvis konvergerer så raskt når den først fungerer.