Begreper & referanser
Alle nøkkelbegrepene, formlene og referansene fra Derivasjon, samlet på én side. Bruk denne som oppslag når du leser, øver flashcards eller tar quiz.
Begreper
Sentrale begreper fra kapittelet med korte definisjoner.
Den deriverte er grensen av differansekvotienten når . Den tolkes som stigningstallet til tangenten.
Hvis f er kontinuerlig på [a,b], deriverbar på (a,b), og f(a)=f(b), finnes minst ett punkt c i (a,b) der f'(c)=0.
Sekantsetningen: hvis f er kontinuerlig på [a,b] og deriverbar på (a,b), finnes et punkt c der den momentane endringsraten er lik gjennomsnittsraten over hele intervallet.
Et punkt x=c der f'(c)=0 eller f'(c) ikke eksisterer. Ethvert lokalt ekstremalpunkt for en deriverbar funksjon må være et kritisk punkt.
Et punkt der funksjonen har en lokal eller global maksimums- eller minimumsverdi. Klassifiseres ved fortegnsskiftet til f' rundt et kritisk punkt.
Teknikk for å knytte endringsratene til to størrelser sammen: en likning som binder størrelsene deriveres med hensyn på tid, med kjederegelen på hvert ledd.
Metode for å beregne grenser av typen eller ved å derivere teller og nevner hver for seg, ikke ved å bruke kvotientregelen.
Mål på hvor fort grafens retning endrer seg, styrt av fortegnet til andrederiverte f''. Positiv f'' gir konveks graf, negativ gir konkav.
, og , definert med eksponentialfunksjonen . Har derivasjonsregler og identiteter som ligner de trigonometriske funksjonene, men uten fortegnsbytte.
Iterativ numerisk metode for å finne en tilnærmet løsning på f(x)=0 ved gjentatt å følge tangentlinjen ned til x-aksen.
Formler
Hver formel: hva den heter, hvordan den ser ut, og hva symbolene betyr.
Derivasjon som grense
Gir stigningstallet til tangenten i punktet a.
Produktregelen
Brukes når to funksjoner multipliseres, og utledes direkte fra differansekvotienten.
Kjederegelen
Pensum bruker regelen på eksponentielle, logaritmiske og trigonometriske sammensetninger.
Rolles teorem
Gjelder når f er kontinuerlig på [a,b] og deriverbar på (a,b). Grunnlaget for beviset for middelverdisetningen.
Middelverdisetningen
Den momentane endringsraten i c er lik gjennomsnittsraten (sekantens stigningstall) over hele [a,b].
L'Hôpitals regel
Gjelder for ubestemte former eller , forutsatt at grensen på høyre side finnes. Kan brukes gjentatte ganger.
Derivasjon av cosh og sinh
Ingen fortegnsbytte, i motsetning til . Følger direkte av at og er bygget fra og .
Derivasjon av tanh
To ekvivalente former, analogt med — men her med minustegn.
Hyperbolsk identitet
Det hyperbolske motstykket til . Følger direkte av definisjonene med og .
Newtons metode
Iterasjonsformel som følger tangentlinjen i ned til -aksen for å finne neste, bedre gjetning på et nullpunkt.
Læringsmål
Hva du skal kunne etter å ha lest kapittelet.
- 01Forklare og bruke Rolles teorem og middelverdisetningen, og se sammenhengen mellom dem
- 02Finne kritiske punkter og klassifisere ekstremalpunkter ved fortegnsskift i den deriverte
- 03Sette opp og løse et optimaliseringsproblem fra en tekstoppgave ved hjelp av derivasjon
- 04Bruke relaterte rater til å knytte endringsraten til to størrelser sammen via en felles likning
- 05Bruke L'Hôpitals regel til å beregne grenser på formen 0/0 og ∞/∞
- 06Derivere og gjenkjenne de hyperbolske funksjonene cosh, sinh og tanh, og deres identitet
- 07Bruke Newtons metode til å finne en numerisk tilnærming til et nullpunkt