Begreper & referanser

Et punkt i ${\mathbb{R}}^n$ skrives som en vektor $(x_1,\dots ,x_n)$ og tolkes som en lineær kombinasjon av standardbasisvektorene.

For vektorer $a$ og $b$ i ${\mathbb{R}}^n$ er $a\cdot b=\sum a_i{b}_i$. Produktet brukes i vinkler, ortogonalitet og projeksjoner.

Vektorproduktet $\vec{u}\times \vec{v}$ mellom to vektorer i ${\mathbb{R}}^3$. Resultatet er en ny vektor som står vinkelrett på både $\vec{u}$ og $\vec{v}$, og hvis lengde er arealet av parallellogrammet vektorene spenner ut. Regnes ut som determinanten av matrisen med basisvektorene $e_1,e_2,e_3$ i første rad og $\vec{u}$, $\vec{v}$ i de to neste.

En flate i R³ bestemt av et punkt (x0,y0,z0) og en normalvektor N=(a,b,c) som står vinkelrett på hele planet. Alle punkter (x,y,z) i planet oppfyller a(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z0)=0.

En rett linje i R³ beskrevet ved en parameterfremstilling (x,y,z) = (x0,y0,z0) + t·d, der (x0,y0,z0) er et fast punkt på linjen, d er en retningsvektor, og t er en fri, reell parameter.

Skalaren $\vec{a}\cdot (\vec{b}\times \vec{c})$ for tre vektorer i ${\mathbb{R}}^3$, lik determinanten av matrisen med $\vec{a}$, $\vec{b}$ og $\vec{c}$ som rader. Den absolutte verdien av trippelproduktet gir volumet av parallellepipedet de tre vektorene spenner ut.

Nullrommet $\mathrm{Nul}A$ til en matrise $A$: alle vektorer $x$ som løser $Ax=0$, altså alt som lineærtransformasjonen $T_A(x)=Ax$ sender til nullvektoren. $\mathrm{Nul}A$ er et underrom — summen av to løsninger og en skalar ganget en løsning er fortsatt en løsning.

Kolonnerommet Col A til en matrise A: mengden av alle mulige verdier Ax kan anta, altså span av kolonnevektorene i A. Etter Gauss-eliminasjon danner søylene i A som svarer til pivot-søylene i trappeformen en basis for Col A.

Rangen til en matrise A, skrevet rang(A), er dimensjonen til kolonnerommet Col A — like mange som antall pivoter i redusert trappeform av A. Rangen sier hvor mange lineært uavhengige retninger kolonnene faktisk dekker.

Vektorene v1,...,vn er lineært uavhengige dersom likningen a1v1+...+anvn=0 kun har den trivielle løsningen a1=...=an=0. Finnes det andre løsninger, er vektorene lineært avhengige — minst én av dem kan skrives som en kombinasjon av de andre.