Begreper & referanser

Polynom $P_n(x)$ som matcher funksjonens deriverte opp til grad $n$ i et punkt $a$ og gir lokal approksimasjon.

For alle $\epsilon >0$ finnes $N$ slik at $|a_n-L|<\epsilon$ for $n\ge N$. Matte 1 bruker definisjonen både på følger og delsummen til rekker.

Taylor-rekke utviklet rundt $a=0$, brukt for funksjoner som $e^x$, $\sin x$ og $\cos x$ i Matte1pensum.

Rekke med ledd $a{r}^n$ som konvergerer mot $\frac{a}{1-r}$ når $|r|<1$. Anvendes i finansielle modeller og differenslikninger.

Forskjellen $f(x)-P_n(x)$ uttrykkes via Lagrange-formen med en ukjent $\xi$ mellom $a$ og $x$.

Rekken $\sum \frac{1}{n^p}$ konvergerer kun når $p>1$. Denne grensen brukes som sammenligningsverktøy for mer kompliserte rekker.

Avstanden fra utviklingspunktet til nærmeste singularitet avgjør hvor Taylor-rekken konvergerer.

En rekke er absolutt konvergent hvis $\sum |a_n|$ konvergerer. Dette innebærer konvergens for selve rekken og gir frihet til å omarrangere ledd.

Matte 1 estimerer feil ved å begrense $|R_n(x)|$ gjennom maksimalverdien av den $(n+1)$-deriverte.

En rekke på formen ${\sum }_{n=0}^{\infty }{c}_n(x-a{)}^n$, der koeffisientene $c_n$ er tall. Taylor- og Maclaurin-rekker er potensrekker der koeffisientene kommer fra deriverte i ett punkt, men koeffisientene kan i prinsippet være en hvilken som helst tallfølge.

Samlebegrep for de mest brukte Maclaurin-utviklingene: $e^x$, $\sin x$, $\cos x$, $\frac{1}{1-x}$ og $\ln (1+x)$. Fortegnsmønster og hvilke potenser som er med, følger direkte av funksjonens paritet (odde/jevn) og dens deriverte i $x=0$.

Innenfor konvergensradiusen kan en potensrekke deriveres eller integreres ledd for ledd, som om den var et vanlig polynom. Resultatet er en ny potensrekke med nøyaktig samme konvergensradius som den opprinnelige.

Den alternerende rekken $1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots =\frac{\pi }{4}$. Fremkommer ved å sette $x=1$ i Maclaurin-rekken for $\arctan x$, og er et av de mest kjente eksemplene på leddvis integrasjon av en potensrekke.