Matematikk 1: Kalkulus og lineær algebra Hjem

CMD + K

Matematikk 1: Kalkulus og lineær algebraTMA4400

CMD + K

Kapittel 8Begreper & formler · Komplekse tall

Referanseside · Kapittel 8

Begreper & referanser

Alle nøkkelbegrepene, formlene og referansene fra Komplekse tall, samlet på én side. Bruk denne som oppslag når du leser, øver flashcards eller tar quiz.

Øv med flashcards17 kort fra dette kapittelet

Begreper

Sentrale begreper fra kapittelet med korte definisjoner.

01Imaginær enhet

Tallet i, definert ved i² = -1. Sammen med de reelle tallene bygger i opp de komplekse tallene: ethvert komplekst tall kan skrives z = a + bi, med a og b reelle. a kalles realdelen (Re z) og b imaginærdelen (Im z).

Logg inn for forklaring

02Polarform og Eulers formel

En alternativ måte å skrive et komplekst tall på: $z = r (cos θ + i sin θ) = r e^{i θ}$ , der $r = ∣ z ∣$ er avstanden fra origo og $θ$ er vinkelen fra positiv realakse. Eulers formel $e^{i θ} = cos θ + i sin θ$ knytter eksponentialfunksjonen til trigonometri.

Logg inn for forklaring

03Konjugat

Speilbildet av $z = a + bi$ om realaksen: $\overset{z}{ˉ} = a - bi$ . Geometrisk snur konjugering fortegnet på imaginærdelen; i polarform snur den fortegnet på vinkelen, $\overset{z}{ˉ} = r e^{- i θ}$ .

Logg inn for forklaring

04Multiplikasjon i polarform

Å multiplisere to komplekse tall er enklere i polarform enn i kartesisk form: multipliser modulusene og adder vinklene. Geometrisk betyr multiplikasjon med et komplekst tall både en skalering og en rotasjon.

Logg inn for forklaring

05n-te røtter

Løsningene $z$ i likningen $z^{n} = w$ for et gitt komplekst tall $w$ . Det finnes alltid nøyaktig $n$ stykker, jevnt fordelt med vinkelavstand $2 π / n$ på en sirkel med radius $∣ w ∣^{1/ n}$ .

Logg inn for forklaring

06Enhetsrøtter

De n løsningene av likningen zⁿ = 1. De ligger jevnt fordelt på enhetssirkelen (radius 1), og w₀ = 1 er alltid én av dem.

Logg inn for forklaring

07Algebraens fundamentalteorem

Ethvert polynom av grad $n \geq 1$ med komplekse koeffisienter har nøyaktig $n$ røtter i de komplekse tallene, talt med multiplisitet. Har polynomet reelle koeffisienter, opptrer dessuten ikke-reelle røtter alltid i konjugerte par.

Logg inn for forklaring

08Differenslikning

En likning som knytter et ledd i en tallfølge til ett eller flere tidligere ledd, for eksempel $x_{n + 1} = x_{n} + x_{n - 1}$ . Løses ofte ved å gjette en løsning på formen $x_{n} = C r^{n}$ og sette den inn.

Logg inn for forklaring

09Karakteristisk likning (differenslikninger)

Likningen i $r$ man får ved å sette $x_{n} = C r^{n}$ inn i en differenslikning og dele bort felles faktorer. Røttene til denne likningen bestemmer hvilke geometriske følger som løser differenslikningen.

Logg inn for forklaring

Formler

Hver formel: hva den heter, hvordan den ser ut, og hva symbolene betyr.

z = r (cos θ + i sin θ) = r e^{i θ}

eulers-formel

Eulers formel / polarform

Logg inn for forklaring

Ethvert komplekst tall $z = a + bi$ kan skrives på polarform ved $r = ∣ z ∣ = a^{2} + b^{2}$ og vinkelen $θ = ar g (z)$ . Eulers formel $e^{i θ} = cos θ + i sin θ$ er broen mellom de to formene.

rmodulus,

r = ∣ z ∣ = a^{2} + b^{2}

θargument, vinkelen fra positiv realakse

r_{1} e^{i θ_{1}} \cdot r_{2} e^{i θ_{2}} = r_{1} r_{2} e^{i (θ_{1} + θ_{2})}

multiplikasjon-polar

Multiplikasjon i polarform

Logg inn for forklaring

Moduli multipliseres, argumenter adderes. Dette gjør multiplikasjon av komplekse tall langt enklere i polarform enn i kartesisk form.

\frac{r _{1} e ^{i θ_{1}}}{r _{2} e ^{i θ_{2}}} = \frac{r _{1}}{r _{2}} e^{i (θ_{1} - θ_{2})}

divisjon-polar

Divisjon i polarform

Logg inn for forklaring

Moduli divideres, argumenter subtraheres — motsatt regel av multiplikasjon.

\overline{a + bi} = a - bi, z \overset{z}{ˉ} = a^{2} + b^{2} = ∣ z ∣^{2}

konjugat-egenskap

Konjugat-egenskap

Logg inn for forklaring

Produktet av et tall og dets konjugat er alltid reelt og lik kvadratet av modulus. Brukes til å dele på komplekse tall: multipliser teller og nevner med konjugatet av nevneren.

a, breal- og imaginærdel av z

w_{k} = r^{1/ n} e^{i \frac{θ + 2 π k}{n}}, k = 0, 1, \dots, n - 1

n-te-roetter-formel

n-te røtter-formel

Logg inn for forklaring

De $n$ løsningene av $z^{n} = r e^{i θ}$ . Alle har samme modulus $r^{1/ n}$ og ligger med vinkelavstand $2 π / n$ rundt origo.

r, θmodulus og argument til tallet man tar roten av

nhvilken rot (kvadratrot: n=2, kubikkrot: n=3, …)

khvilken av de n røttene, 0 til n-1

x_{n + 1} = x_{n} + x_{n - 1}, x_{0} = 0, x_{1} = 1

fibonacci-rekursjon

Fibonacci-rekursjon

Logg inn for forklaring

Hvert Fibonacci-tall er summen av de to foregående. Gir følgen 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...

x_{n} = \frac{φ ^{n} - ψ ^{n}}{5}, φ = \frac{1 + 5}{2}, ψ = \frac{1 - 5}{2}

binets-formel

Binets formel

Logg inn for forklaring

Lukket formel for det n-te Fibonacci-tallet, uten å regne seg gjennom hele følgen. φ er det gylne snitt.

φdet gylne snitt, ≈ 1.618

ψden andre roten av r²−r−1=0, ≈ −0.618

x_{n} = A r_{1}^{n} + B r_{2}^{n}

generell-losning-differenslikning

Generell løsning av lineær differenslikning

Logg inn for forklaring

Når den karakteristiske likningen har to distinkte røtter $r_{1}, r_{2}$ , er dette den generelle løsningen. $A$ og $B$ bestemmes fra initialbetingelsene (f.eks. $x_{0}$ og $x_{1}$ ).

r1, r2røtter av den karakteristiske likningen

A, Bkonstanter bestemt av initialbetingelser

Læringsmål

Hva du skal kunne etter å ha lest kapittelet.

01Regne om mellom kartesisk form a+bi og polarform re^(iθ) for et komplekst tall, og forklare hva Eulers formel sier
02Utføre addisjon, multiplikasjon, konjugering og divisjon av komplekse tall, og forklare hvorfor multiplikasjon er enklest i polarform
03Finne alle n-te røtter av et komplekst tall og plassere dem på enhetssirkelen/en sirkel med riktig radius
04Finne de n-te enhetsrøttene og forklare hvordan de er fordelt geometrisk
05Løse andregradslikninger med negativ diskriminant og faktorisere polynomer ved hjelp av algebraens fundamentalteorem
06Sette opp og løse en lineær differenslikning via karakteristisk likning, og utlede Binets formel for Fibonacci-følgen

Tilbake til kapittelet